2．解法一：设，则

解法二：

3．；　 4．

分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．

解：1．解法一：可看成复合而成．

解法二：

解法三：，

1．；2．；

3．解析　

说明：本题考查数列极限公式的应用．

根据已知极限和四则运算求其它极限

例　 若，且存在，则

A．0　 B．　 C．　 D．不存在

分析：根据题设知和均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．

解：

又

∴

即

选C．

说明：是关键，不能错误地认为，．

两个数列、的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但的极限不一定存在．

化简表达式再求数列的极限

例 　求下列极限

(1)

(2)

(3)

分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．

解：(1)原式

(2)原式

(3)原式

说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为而得到(1)的结果是0．

无穷比无穷和字母讨论的数列极限

例 　求下列极限：

(1)　 (2)

分析：第(1)题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第(2)题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势)不同，因此要分各种情形进行讨论．

解：(1)原式

(2)当时，，

当时，

说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为．

根据极限确定等比数列首项的取值范围

例　 已知等比数列的首项为，公比为q，且有，求的取值范围．

分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知存在，因此可得q的取值范围，从而确定出的取值范围．

解：由，得存在．

∴且 或 ．．

当时，有 ，

∴ ，

∴解得 ，

又，因此 ．

当时，这时有，　 ∴．

综上可得：，且或．

说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q的特点，容易将这一条件忽视，从而导致错误．

求函数在某一点处的极限

例 　求下列极限：

(1)

(2)

(3)

(4)

分析：第(1)题中，在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；(2)、(3)两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；(4)为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．

解：(1)

(2)

(3)

(4)

说明：不能错误地认为，由于不存在，也不存在，因此(4)式的极限不存在．(4)属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“”型或“”型，再求极限．

函数在某一点处零比零型的极限

例 　求下列极限：

(1)　 (2)

分析：第(1)题中，当时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：

　　 ①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式(如第(2)题，先进行三角恒等变换，再约分．

解：

(1)原式

(2)原式

说明：如果分子、分母同乘以，对(1)式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是．

2．解析　

说明：本题的思考障碍点是如何求？--只要懂得在通项公式中令，可立得的具体值，本题考查数列极限的基本知识．

1．解析　

说明：利用数列极限公式，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．

3．计算：

2．若数列的通项公式是，则

1．计算

15、已知圆C：(x－1) +(y－2) =25,直线L：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R)

(1)证明:无论m取什么实数，L与圆恒交于两点.