8．设函数f(x)＝，函数g(x)与y＝f ^－1(x+1)的图象关于直线y＝x对称，那么g(3)＝_______．

[略解]x＝f ^－1 ( y )＝，x＝g^－1 (y)＝f ^－1 (y+1)＝，y＝g(x)＝，

故g(3)＝．

7．若函数f (x)＝25^{－| x+1 |}－4×5^{－| x+1 |}－m 的图象与x轴有交点，则实数m 的取值范围是_____．

[略解]f(x)可看作关于5^{－| x+1 |}＝t 的二次函数(t ≤1)t ² －4 t－m，为使它的图象与x轴有交点，只须Dt ≥0，而Dt＝16+4 m ≥0，故m的取值范围是m ≥－4．

6．已知二次函数f(x)＝ax²+bx，且f(x₁)＝f(x₂)(x₁≠x₂)，则f(x₁+x₂)＝_____．

[略解]由f(x₁)＝f(x₂)，将a(x₁+x₂)(x₁－x₂)+b(x₁－x₂)＝0

∵　 x₁ ≠x₂，

∴　 a(x₁+x₂)+b＝0．

∴　 f(x₁+x₂)＝ f(－)＝＝0．

5．对于函数f(x)＝log_a x(其中a ＞0，a ≠1)，若f(3)－f(2)＝1，则

f(3.75)+f(0.9)的值等于_________．

[略解]由f(3)－f(2)＝log_a3－log_a 2＝log_a＝1，∴　 a＝．

∴　 f(3.75)+f(0.9)＝log _a3.75×0.9＝log _a3.375＝log_a1.5³＝3 log_a 1.5＝3．

4．已知函数f(x)＝，若方程f(x)＝k 无实根，则实数k 的取值范围是________．

[略解]函数f(x)的图象如下图所示，方程f(x)＝k 的根，即f(x)的图象与直线g＝k 交点的横坐标，由图可见，当k ＜lg时，f(x)的图象与直线y＝k无交点，即方程f(x)＝k 无实根，故k 的取值范围是(－∞，lg)．

3．解方程 () ^x+() ^x＝10．

[略解] ∵　 ＝1，

∴　 原方程可以改写为：() ^x+() ^x＝10，

设y＝ () ^x，则y+＝10，解得y＝5±2，

于是由() ^x＝5±2，得x＝±2，

∴ 　原方程的解为：x＝±2．

[点评]

本题的关键是注意到和互为倒数，利用整体换元的思想使问题易于解决．

2．当k ∈(0，)时，函数y＝的图象与函数y＝kx的图象有多少个不同的交点？

[略解]先作出函数y＝的图象．

．

函数y＝kx，k ∈(0，)的图象是一条直线，两个函数的图象只可能在第一象限内相交．

当直线y＝kx，k ∈(0，)与函数y＝在x＞1上的部分相切时，方程

＝kx应有重根，即二次方程的判别式为0，D＝1－4 k²＝0，得k＝．

所以，当0＜k ＜时，两个图象在x＞1时相交于两个点．

故两个函数的图象有3个交点．

[点评]本题充分体现了数形结合的数学思想方法．在利用图象解题时，要注意用代数的方法解决相交和相切时的数量关系．

1．求函数y＝的定义域．

[略解]x的取值范围，应满足

　x＜－3且x≠－1－．

[点评]

函数的定义域是函数的基本性质之一，应掌握求函数定义域的方法，实际上就是解x所满足的不等式组．

4．(本题满分13分)

已知函数f(x)的定义域为全体实数，且对任意x₁，x₂∈R有

f (x₁)+f (x₂)＝2 f()f()

成立，又知f(a)＝0(a ≠0，a 为常数)，但f(x)不恒等于0，求证：

(1)f(x)是周期函数，并求出它的一个周期；

(2)f(x)是偶函数；

(3)对任意x∈R，有f(2 x)＝2 f ²(x)－1成立．

[略解](1)令x₁＝x+2 a，x₂＝x，由已知可得：

f(x+2 a)+f(x)＝2　 f()f()＝2 f(x+a)·f(a)＝0，

∴　 f(x+2 a)＝－f(x)，从而f(x+4 a)＝－f(x+2 a)＝f(x)．

∴　 4 a是f(x)的一个周期．

(2)令x₁＝x，x₂＝－x，

则f(x)+f(－x)＝2 f(0)f(x)

再令x₁＝x₂＝x，则

f(x)+f(x)＝2 f(x)f(0)．

∴　 f(x)+f(－x)＝f(x)+f(x)．

即　 f(－x)＝f(x)．∴　 f(x)是偶函数．

(3)由2 f(x)＝2 f(x)f(0)且f(x)≠0，知f(0)＝1．

令x₁＝2 x，x₂＝0，则有f(2 x)+f(0)＝2 f(x)f(x)，

即　 f(2 x)＝2 f ²(x)－1得证．

[点评]若函数f(x)对定义域内任意x满足f(x+T)＝f(x)(T是一个不为零的常数)，则f(x)是以T为周期的函数．有关周期函数的概念在本章教材中还没有涉及到．

3．(本题满分13分)

已知a ∈N，关于x的方程lg(4－2 x²)＝lg(a－x)+1有实根，求a及方程的实根．

[略解] 由解得－＜x＜且x＜a，

又　 方程4－2 x²＝10(a－x)，

整理得：x²－5 x+5 a －2＝0，D＝25－4(5 a －2)≥0，

得a ≤，

又 a ∈N，∴ 　a＝1．

此时方程化为：x²－5 x+3＝0，

∴　 x＝；

又 －＜x＜1，∴　 x＝．