1．化简· [(·)－(·)]的结果是______．

[提示]

· [(· )－(·)]

＝·(·)－·(·)

＝(·)(·)－(·)(·)

＝0．

[答案]0．

[点评]本题考查平面向量数量积的运算律，注意数量积运算的结果为一个数．

6．在△ABC中，若A︰B︰C ＝1︰1︰4，则a︰b︰c等于(　　 )．

(A)1︰1︰2　　 (B)1︰1︰4

(C)1︰1︰　 (D)1︰1︰16

[提示]

将边之比转化为对应角的正弦函数之比，再由正弦定理可得．

∵　 在△ABC中，A +B +C ＝180°，

由　 A︰B︰C＝1︰1︰4，可得

A ＝B ＝30°，C ＝120°．

∴　 sin A ＝sin B ＝，sin C ＝．

由正弦定理，可知

a︰b︰c ＝sin A︰sin B︰sin C ＝1︰1︰．

[答案](C)．

[点评]

本题根据已知条件，把求边的比的问题转化为关于角的问题，考查了正弦定理的应用．

5．将函数y ＝f(x)的图象按＝(－2，3)平移后，得到的是函数y ＝的图象，则y ＝f(x)的表达式为(　　 )．

(A)y ＝+3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)y ＝+3

(C)y ＝－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)y ＝

[提示]

利用平移公式，设P(x，y)为y ＝f(x)图象上任一点，按＝(－2，3)平移后的坐标为P′(x′，y′)，则

即

据已知，点P′满足

y′＝4 x′²－2 x′+4，

∴　 y +3＝，

化简，得　 y ＝－3．

[答案](C)．

[点评]本题考查平移公式，应明确图象的平移实质上是图象上点的平移．

4．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，则角B等于(　　 )．

(A)90°　　 (B)60°　　 (C)45°　　 (D)30°

[提示一]可由已知顶点坐标，利用两点间距离求出三条边长，再用余弦定理求角B．

由已知，可得

AB ＝＝6，

BC ＝＝2，

AC ＝＝4．

由余弦定理，得

cos B ＝

＝

＝0．

∴　 ∠B ＝90°．

[提示二]

利用向量知识，求角B，就是求向量与的夹角．由三个顶点的坐标，得＝(6，6)，＝(－2，2)．||＝6，||＝2．

∴　 cos B ＝＝＝0．

得　 ∠B ＝90°．

实际上，由·＝6×(－2)+6×2＝0，便可知⊥，于是∠B ＝90°．

[答案](A)．

[点评]

本题考查向量知识的灵活应用，以及解斜三角形的有关知识．考查运算能力，本题运用向量垂直的充要条件，由平面向量的坐标表示．求得角B等于90°，最为简捷．

3．已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)，有下面四个结论：

① 四边形ABCD是平行四边形

② 四边形ABCD是矩形

③ 四边形ABCD是菱形

④ 四边形ABCD是正方形

其中正确的结论是

(A)①②　　 (B)①③　　 (C)①②④　　 (D)①③④

[提示]

由＝(3，－2)，＝(3，－2)，即＝，得四边形ABCD是平行四边形，结论①正确；又＝(4，6)，得·＝12－12＝0，即BC ⊥AB，□ABCD是矩形，结论②正确；而||＝，||＝2，即||≠||，故结论③、④均不正确．

[答案](A)．

[点评]

本题考查向量的坐标运算，数量积，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式．即利用向量的有关知识，判定平面图形的几何特征．通常情况下，对于任意四边形，利用向量共线，判断是否为梯形；利用向量相等，判断是否为平行四边形．对于平行四边形，再利用数量积为零，判断是否为矩形，利用相邻两边所表示向量的模的大小．判断是否为菱形．

2．已知向量＝(1，2)，＝(3，1)，＝(11，7)．若＝k+l，则k、l的值为(　　 )．

(A)－2，3　　 (B)－2，－3

(C)2，－3　　 (D)2，3

[提示]据已知，有(11，7)＝k(1，2)+l(3，1)，可得关于k，l的二元方程组

解之即可．

[答案](D)．

[点评]本题主要考查平面向量的基本定理，以及向量相等的充要条件．

1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，以图中各点为端点的有向线段所表示的向量中，与的向量最多有(　　 )．

(A)3个　　 (B)4个　　 (C)6个　　 (D)7个

[提示]据已知，与共线的向量有，，，，，，．

[答案](D)．

[提示]本题考查共线向量的概念．注意两个共线向量的方向可以相同，也可以不同．

4．用反证法证明：若a＞b＞0，则．

[证明]假设≤，

则≤0，

又≥0，

∴　 ()()≤0，

∴　 a－b≤0．

∴　 a≤b 这与已知a＞b 矛盾，所以假设不成立，即原命题为真．

3．已知集合A＝{a²，a+1，－3}，B＝{a－3，2 a－1，a²+1}，且AB＝{－3}，求实数a 的值．

[解]∵　 AB＝{－3}

∴　 －3B．

①若a－3＝－3，则a＝0，则A＝{0，1，－3}，B＝{－3，－1，1}

∴　 AB＝{－3，1}与AB＝{－3}矛盾，所以a－3≠－3．

②若2 a－1＝－3，则a＝－1，则A＝{1，0，－3}，B＝{－4，－3，2}

此时AB＝{－3}符合题意，所以a＝－1．

2．已知m＜0，求|mx|－2＜0的解集．

[解]|mx|－2＜0m＜0

|mx|＜2m＜0

m＜0

[答案]不等式|mx|－2＜0的解集为x｜＜x＜－．