23．已知方程为常数。

(Ⅰ)若，，求方程的解的个数的期望；

(Ⅱ)若内等可能取值，求此方程有实根的概率．

22。正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为A₁A的中点。

(Ⅰ)求所成角的大小；

(Ⅱ)到平面的距离。

21．(选做题)从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．

A．选修4-1　几何证明选讲

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆

交AC于D．求证：．

B．选修4-2　矩阵与变换

已知矩阵，求特征值λ₁，λ₂及对应的特征向量α₁，α₂．

C．选修4-4　参数方程与极坐标

已知直线和圆，判断直线和圆的位置关系．

D．选修4-5　不等式证明选讲

若，证明　 。

必做题(每题10分，共20分)

20．解：(Ⅰ)，，．

∴，且．　　 …………………… 2分

解得a＝2，b＝1．　　　　　　　　　　　　　 …………………… 4分

(Ⅱ)，令，

则，令，得x＝1(x＝－1舍去)．

在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；

当x∈时，，∴h(x)是减函数．　　 …………………… 7分

则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分

即．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………… 12分

(Ⅲ)，．

假设结论成立，则有

①－②，得．

∴．

由④得，

∴．即．

即．⑤　　　　　　　 　　　　　　　 …………………… 14分

令，(0＜t＜1)，

则＞0．∴在0＜t＜1上增函数．

，∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴．　　　　　　　　　　 ………………………………… 16分

数 学(附加题)

20．(本小题满分16分)

已知函数图象上一点P(2，f(2))处的切线方程为．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若方程在内有两个不等实根，求的取值范围(其中为自然对数的底，)；

(Ⅲ)令，如果图象与轴交于，AB中点为，求证：．

19．解：(Ⅰ)点A代入圆C方程，

　　　 得．

∵m＜3，∴m＝1． …… 2分

圆C：．

设直线PF₁的斜率为k，

则PF₁：，

即．

∵直线PF₁与圆C相切，

∴．

解得．　 …………………… 4分

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F₁(－4，0)，F₂(4，0)．　　　　　　 …………………… 6分

2a＝AF₁+AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．

椭圆E的方程为：．　　　　　　　　 …………………… 8分2

(Ⅱ)，设Q(x，y)，，

．　　　　　 …………………… 10分

∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．　　 …………………… 12分

则的取值范围是[0，36]． ……… 14分

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．　 …………………… 16分

19．(本小题满分16分)

已知点P(4，4)，圆C：与椭圆E：有一个公共点A(3，1)，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程；

　　　 (Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

18．解：(Ⅰ) …… 4分

＝　　　 　　　　　　　　　…………………… 8分

(Ⅱ)当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，

在t＝5时，y取得最大值为1225；　　　　　　　 …………………… 11分

当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，

在t＝20时，y取得最小值为600．　　　　　　　 …………………… 14分

(答)总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；

第20天，日销售额y取得最小为600元．　　　　 　…………………… 15分

18．(本小题满分15分)

经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足(元)．

(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；

(Ⅱ)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

17．解：(Ⅰ)在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

则V＝．　　 ……………… 5分

(Ⅱ)∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．　　　　　　 ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．　　　 ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

(Ⅲ)证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．　 ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．　 ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．　 ……… 15分

证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C为ND的中点．　　　　 ……12分

∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．　 ……… 15分