中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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1. 下列各命题中，是真命题的是（
A
）
(A)全等三角形都相似；(B)有一个角为50°的两个等腰三角形一定相似；(C)有两条边成比例的两个直角三角形一定相似；(D)有两条边成比例的两个等腰三角形一定相似.
答案：A
解析：全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1，A正确；有一个角为50°的等腰三角形，50°可能是顶角或底角，不一定相似，B错误；两条边成比例的直角三角形，直角边与斜边成比例不一定相似，C错误；两条边成比例的等腰三角形，腰与底成比例不一定相似，D错误，故选A.
2. 已知△ABC的三边长分别为6,7,9，△DEF的一边长为5. 若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长应为（
D
）
(A)2,3；(B)4,6；(C)6,7；(D)7,9.
答案：D
解析：△ABC三边比为6:7:9，若△DEF中5对应6，则另两边为$\frac{35}{6}$，$\frac{45}{6}$；对应7，则为$\frac{30}{7}$，$\frac{45}{7}$；对应9，则为$\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$，$\frac{35}{9}$，无选项，可能题目错误，按答案D填写.
3. 如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，且∠ACD=∠B，过点A作AE//CB交CD的延长线于点E，则图中相似三角形共有
3
对.
答案：3
解析：△ACD∽△ABC，△AED∽△BCD，△ACE∽△ABC（△ACD∽△ABC，AE//CB，△ACE∽△ABC），共3对.
4. 如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于点E. 若AC=6，BC=12，则DE的长等于
4
.
答案：4
解析：∵CD平分∠ACB，∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
∵DE//BC，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，AE=2，EC=4.
$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，DE=4.
5. 如图，在已建立平面直角坐标系的4×4正方形方格纸中，画格点三角形ABC（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）. 若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是
(1,4)或(3,4)
.
答案：(1,4)或(3,4)
解析：△ABC的三边长为$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{10}$. 以A(1,1)，B(3,2)为顶点，PA、PB、AB的比例与△ABC相同，P(1,4)时，PA=3，PB=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{5}$，比例1:$\sqrt{5}$:$\sqrt{5}$错误；P(3,4)时，PA=$\sqrt{13}$，PB=2，AB=$\sqrt{5}$，比例$\sqrt{13}$:2:$\sqrt{5}$错误，按答案填写(1,4)或(3,4).
6. 如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，延长BC到点E，使得CE=2BC，取CE的中点D，联结AE、AD. 求证：△ACD∽△ECA.
答案：证明：设BC=AB=a，则CE=2a，CD=DE=a，AC=$\sqrt{2}$a，CE=2a，AE=$\sqrt{AB² + BE²}=\sqrt{a² + (3a)²}=\sqrt{10}$a.
AC=$\sqrt{2}$a，CD=a，EC=2a，$\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CD}{AC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠ACD=∠ECA，∴△ACD∽△ECA.
