中学生世界九年级数学第一学期上沪教版54制
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11. 已知△ABC∽△A₁B₁C₁，其相似比为$\frac{2}{3}$；△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，其相似比为$\frac{5}{4}$，则△ABC与△A₂B₂C₂的对应角平分线长之比为
$\frac{5}{6}$
.
答案：$\frac{5}{6}$
解析：△ABC与△A₁B₁C₁相似比$\frac{2}{3}$，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂相似比$\frac{5}{4}$，则△ABC与△A₂B₂C₂相似比为$\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{5}{6}$，对应角平分线长之比等于相似比$\frac{5}{6}$。
12. 如图，已知点D在△ABC的边BC上，若∠DAC=∠B，且BD=5，AC=6，则CD的长为
4
.
答案：4
解析：∠DAC=∠B，∠C=∠C，△DAC∽△ABC。$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}$，设CD=x，则BC=5+x。$\frac{x}{6}=\frac{6}{5+x}$，$x^2+5x-36=0$，解得x=4（x=-9舍去）。
三、解答题
13. 如图，AB和CD两根电线杆，分别在高10 m的A处和15 m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH.
答案：6 m
解析：设MH=h，BH=a，HD=b。△ABM∽△DHM：$\frac{AB}{MH}=\frac{BH}{DH}$，$\frac{10}{h}=\frac{a}{b}$。△CDH∽△MBH：$\frac{CD}{MH}=\frac{DH}{BH}$，$\frac{15}{h}=\frac{b}{a}$。两式相乘：$\frac{150}{h^2}=1$，h= $\sqrt{150}$（错误）。正确方法：$\frac{h}{10}=\frac{DH}{BD}$，$\frac{h}{15}=\frac{BH}{BD}$，相加$\frac{h}{10}+\frac{h}{15}=1$，$\frac{3h+2h}{30}=1$，5h=30，h=6。
14. 如图，△ABC中，已知AB=6，AC=5，BC=4，点D在边AB上，且AD=4，点E在边AC上。若以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，试求DE的长.
答案：$\frac{8}{3}$或$\frac{16}{5}$
解析：分两种情况：
①△ADE∽△ABC：$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{4}{6}=\frac{DE}{4}$，DE=$\frac{8}{3}$。
②△AED∽△ABC：$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{4}{5}=\frac{DE}{4}$，DE=$\frac{16}{5}$
15. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，点E在AD的延长线上，∠ACE=∠BCD，EC²=ED·EA。
(1)求证：四边形ABCD为梯形；
(2)如果EC=AC，求证：AB²=ED·BC。
答案：(1)证明：EC²=ED·EA，∠E=∠E，△ECA∽△EDA，∠ECA=∠EDA。∠ACE=∠BCD，∠EDA=∠BCD，AD//BC。AD＜BC，四边形ABCD为梯形。
(2)证明：EC=AC，△ECA为等腰三角形，∠E=∠EAC。△ECA∽△EDA，∠EDA=∠ECA=∠BCD。AD//BC，∠EAB=∠ABC，∠EAC=∠ABC。∠EDA=∠BCD，∠E=∠ABC，△EAB∽△BCD，$\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{AB}$，AB²=ED·BC。
