伴你学单元达标测试卷九年级数学苏科版
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21. （本题8分）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2m + 1)x + m^{2}-4=0$.
（1）当$m$为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求$m$的值.
答案：（1）$m＞-\frac{17}{4}$
解析：$\Delta=(2m + 1)^{2}-4(m^{2}-4)=4m + 17＞0$，解得$m＞-\frac{17}{4}$。
（2）$m=-4$
解析：设方程两根为$x_{1},x_{2}$，则对角线长$2x_{1},2x_{2}$，菱形性质$(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}=5^{2}$，韦达定理$x_{1} + x_{2}=-(2m + 1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-4$，则$(x_{1} + x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=25$，代入得$(2m + 1)^{2}-2(m^{2}-4)=25$，解得$m=-4$或$m=2$，又对角线长为正，$2x_{1},2x_{2}＞0$，则$x_{1} + x_{2}＞0$，$m=-4$。
22. （本题6分）如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门。
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，给出设计方案；如果不能，说明理由.
答案：（1）长32米，宽20米
解析：设宽AB=x，则长BC=70 - 2x + 2=72 - 2x，面积$x(72 - 2x)=640$，$x^{2}-36x + 320=0$，解得$x=20$或$x=16$，长为32或40，取长32米，宽20米。
（2）不能
解析：面积$x(72 - 2x)=650$，$2x^{2}-72x + 650=0$，$\Delta=5184 - 5200=-16＜0$，方程无解，不能达到。
23. （本题6分）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10 cm，BC=6 cm，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以2 cm/s沿AB向终点B移动，点Q以1 cm/s沿BC向终点C移动，一点到达终点另一点停止。设运动时间为x s.
（1）当x为何值时，△PBQ为等腰直角三角形？
（2）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20 cm²？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
答案：（1）$x=\frac{8}{3}$
解析：AB=8cm，PB=8 - 2x，BQ=x，等腰直角三角形则$8 - 2x=x$，解得$x=\frac{8}{3}$。
（2）存在，$x=2$
解析：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8\ \text{cm}$，$\triangle ABC$面积为$\frac{1}{2}\times8\times6=24\ \text{cm}^2$。四边形$APQC$面积$=24 - S_{\triangle PBQ}=20$，则$S_{\triangle PBQ}=4$。$PB=8 - 2x$，$BQ=x$，$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}(8 - 2x)x=4$，即$(8 - 2x)x=8$，$ -2x^{2}+8x - 8=0$，$x^{2}-4x + 4=0$，$(x - 2)^{2}=0$，解得$x=2$。此时$P$移动$4\ \text{cm}$，$PB=4\ \text{cm}$，$Q$移动$2\ \text{cm}$，$BQ=2\ \text{cm}$，$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}\times4\times2=4$，满足条件，故存在$x=2$。
