伴你学单元达标测试卷九年级数学苏科版
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18. （本题12分）关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1=0$.
(1) 求证：不论$m$取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若等腰三角形$ABC$的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两根，求$m$的值.
答案：(1) 证明：$\Delta=4m^{2}-4(m^{2}-1)=4＞0$，故方程总有两个不相等实根。
(2)$m=2$或$m=4$
解析：方程两根为$m + 1$和$m - 1$。若3为腰长，则$m + 1=3$或$m - 1=3$，解得$m=2$（三边2，3，3）或$m=4$（三边3，5，3）；若3为底边，则$m + 1=m - 1$，无解。综上$m=2$或$4$。
19. （本题12分）用$54\ m$长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠墙长为$a\ m$的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是$1\ m$，设与墙垂直的一边长为$x\ m$.
(1) 当$a = 41$时，矩形菜园面积是$320\ m^{2}$，求$x$；
(2) 当$a$足够大时，问矩形菜园的面积能否达到$400\ m^{2}$？
答案：(1) 与墙平行的一边长为$54 - 2x + 2=56 - 2x$（因为两扇门宽度共$2m$，需加到栅栏长度上）。根据面积公式可得$x(56 - 2x)=320$，整理得$x^{2}-28x + 160=0$，因式分解为$(x - 8)(x - 20)=0$，解得$x=8$或$x=20$。当$x=8$时，$56 - 2x=40\leq41$；当$x=20$时，$56 - 2x=16\leq41$，均符合题意，所以$x=8$或$x=20$。
(2) 不能
解析：面积$x(56 - 2x)=-2x^{2}+56x$，最大值为$\frac{4×(-2)×0 - 56^{2}}{4×(-2)}=392＜400$，故不能。
