本专题的不等式部分在高考中往往是一到两个小题，重点考查简单的线性规划问题和基本不等式在求最值中的应用，解答题一般没有纯粹不等式的题目，而，会穿插在其他试题中进行综合考查；推理与证明部分可能有一个题目以选择或填空题的方式考查归纳推理或类比推理，在试卷的各个部分都有推理与证明，可能还会在解答题里的一个小问题上考查反证法或数学归纳法的应用；复数部分一般是一个小题，主要的考查点是复数的概念和复数代数形式的四则运算，试题难度中等偏下整个专题在高考试卷中大约有20分，占整个试卷的15%。

重点1.解一元二次不等式

例1    不等式的解集为，则函数的图象为（   ）

分析：结合所给的不等式的解集和二次函数的图象，可以知道函数图象是开口向下的抛物线，并且与的两个交点的横坐标是，而函数与函数的图象关于轴对称，那么的图象也是开口向下的抛物线并且与轴的两个交点的横坐标是，由此就可以确定选C。由于题目中只涉及到两个待定的参数，也可以根据题目的条件将这两个参数求出来，再作具体的判断。

解析：  由解得，则选C.

点评：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间关系密切，是高中数学中数形结合的典范，其中的关键点就是二次函数图象与交点的横坐标（如果有交点的话），它是相应的不等式解集的端点，是相应方程的两个根，是函数的零点。本题中的函数是在函数中以代替得到的，这样的两个函数图象关于轴对称（还可以总结什么样的两个函数图象关于轴对称、关于坐标原点对称等）。三个二次历年来都是高考的热点，特别是新课标引进函数零点的概念和对不等式的解只要求会解一元二次不等式的时候，要仔细体会着三个二次之间的关系。

重点2.简单的线性规划

例2    已知集合，

集合，若，则的取值范围是      ．

分析：题目中的两个集合可以看作是平面上的两个区域，题目要解决的是这两个区域有公共点的问题，可以借助于数形结合的方法去探究问题的答案。

解析：集合所表示的平面区域是由区域将中心平移到中心得到的，要使，结合图象可以知道，曲线必需经过点和点，代入得和，故的取值范围是．如图。

点评：本题的主题是借助于“线性规划的思想方法”考查数形结合的思想意识以及分析问题和解决问题的能力。高考对二元一次不等式组所表示的平面区域的考查，已经不在局限于目标函数是线性的了，目标函数越来越丰富多彩，但要记住解决问题的基本思想仍然是解决目标函数是线性的思想。本题的区域可以看作区域先向右平移个单位，再向上平移个单位的结果，而区域是四条线段所围成的一个边长为的正方形，对这个区域考生要熟悉。

重点3.基本不等式的应用

例3    设 ，是大于的常数，函数，若恒成立，则的取值范围是    （    ）

A.    B.    C.    D.

分析：实际上就是函数的最小值大于或等于。函数的特点是变量在分母上，且两个分式的分母之和为常数，这样就可以使用常数代换的方法解决函数的最小值。

解析：

由，解得，选D。

点评：基本不等式在必修部分的要求就是两个正数的算术、几何平均值不等式，这个不等式的主要应用就是求一些函数或式子的最值，值得注意的是其使用条件，可以概括为“一正、二定、三相等”。在使用基本不等式求最值时，常数代换是经常使用的方法，要注意体会。

例4    已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（　　）

Ａ．      Ｂ．       Ｃ．      Ｄ．

分析：在等差、等比数列中，若涉及数列的多项，可考虑运用等差（比）数列的性质减少项。本题考查性质：若m+n=p+q，则在等差数列中；在等比数列中。

解：由题知，，，

则＝，当且仅当 x=y时取等号。故选D。

点评：（1）本题关键是运用等差、等比数列的性质将结论转化为用x，y表示，然后用基本不等式解决问题。

（2）注意观察代数式的结构特征，合理选用不等式进行和式与积式的转化。

变式：若成等差数列，成等比数列，则的范围是         。

解：由题知，则＝。

当时，，当且仅当 x=y时取等号。

当时，＝，当且仅当x=-y时取等号。

综上范围为

  点评：运用不等式求最值时，注意三个条件一正：即a,b两数为正时方可运用上述不等式；二定：即求和的最值须构造积为定值，求积的最值须构造和为定值；三相等：即验证等号成立的条件是否存在。

重点四.合情推理

例5    已知数列满足，，，记，则下列结论正确的是（　　）

Ａ．，　　　Ｂ．，

Ｃ．，　　　　Ｄ．，

分析：通过观察选择支的特点和题目的已知条件，可知本题易于使用归纳的方法探究问题的答案。

解析：，；；

；

．

通过观察、分析，知都是每隔6项重复。

所以由归纳推理，得，．故此题选Ａ．

点评：数列问题有它的特殊性，在一些规律不明显的情况下，通过解决数列的前几项归纳猜测其一般规律的方法是经常使用的，在数列问题中蕴含着可以使用合情推理解决的大量问题，高考中合情推理的题目主要的知识依托就是数列、不等式和立体几何。

重点五.综合法与分析法

例6    若，求证：．

分析：从结论和条件两个方面入手，寻找恰当的“中间结果”，实现问题的沟通，分析法和综合法联合使用，达到证明的目的。

证明：

.

要证，只需证．由，两边平方得，，．

点评：综合法和分析法并用实际上是解决数学问题的一般思维方式，在解决数学问题的过程中分析和综合往往是相互伴随的，综合的过程离不开对问题的分析，分析的结果离不开综合的表达，因此在选择数学证明方法时，一定要有“综合性选取”的意识，要明确数学证明方法不是孤立的，是相互联系，他们在同一个问题中往往交互使用。

重点六.反证法

例7 如果是不全相等的实数，若成等差数列，求证：不成等差数列。

分析：所证是一个否定性的结论，直接证明不好入手，可考虑用反证法。

证明：假设成等差数列，则。

由于成等差数列，故①，那么，即②.由①、②得，与是不全相等的实数矛盾，故不成等差数列。

点评：当出现下列几种情况时可考虑用反证法：①命题用否定形式叙述的；②命题用“至多、至少”等文字叙述的；③当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论较少，且不容易说明白时（如证明是无理数等）；④惟一性命题；⑤从正面证明比较难入手的问题。

重点七.数学归纳法

例8用数学归纳法证明对的自然数都成立时，第一步中的起始值的最佳值应取为（ ）

A．1                B．3                C．5                D．6

分析：指数的增长具有“爆炸性”，故在一定的“地方”必然会超过二次多项式的值，只要从前几个值检验即可。

解析：当时不等式成立，当．和时不等式不成立，而当以后不等式恒成立，故用数学归纳法证明时最佳起始值应取为5，选C．

点评：用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，第一个自然数的选取至关重要，它是起始值，是结论成立的开始，在用数学归纳法证明问题时首先要证明问题对这个值成立。

重点八.复数的概念与运算及其几何意义

例9 复数的共轭复数所对应的点位于复平面的  （   ）

A.第一象限    B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

分析：将所给的复数具体计算出来，根据共轭复数的概念求出这个共轭复数，再根据复数的几何意义确定问题的答案。

解析：，故．

点评：高考对复数的考查集中在复数的概念和代数形式的四则运算方面，复数的几何意义和共轭复数也是值得关注的考点。本题将复数的运算、概念和几何意义融为一体，体现了高考命题的综合性。

四 扫雷先锋

易错点1.忽视基本不等式成立的条件

例1 求函数的值域 。

错解：（仅当时取等号），所以值域为。

剖析：这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：

正解：；

所以函数的值域是。

点评：在用基本不等式时一定要注意其使用条件，成立的条件是为正数。

易错点2.忽视等号成立的条件

例2

错解：

所以的最大值为。

剖析：这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。

正解：仅当时取等，所以。

如取

点评：使用基本不等式求最值时一定要检验其等号成立与否，不然极易出错。

易错点3.盲目类比

例3 函数的最小正周期是____________.

错解：因为函数y＝tanx的最小正周期是，所以函数的最小正周期是.

剖析：先前研究过函数的周期性，由其图象（图1）可知它的最小正周期是y＝sinx周期的一半，由此类比；认为的周期就是y＝tanx周期的一半。

正解：现作出的图象（图2），易见其最小正周期仍为.

点评：类比的结论不一定正确，在类比时要做到合情又合理。

易错点4.忽视两个复数如果不都是实数它们之间不能比较大小。

例4 设是实数，＝＋，＝＋，那么使＞的的集合是_____________，使＜的的集合是_____________。

错解：由于两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，因此所求集合是空集。

剖析：未理解“两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小”的意义。因为复数可以表示虚数或实数，当、不全为实数时，它们不能比较大小；当、均为实数时，当然可以比较大小。

正解：由题意可知、均为实数，所以解方程组得＝±1。因为＞，所以＞，解得＝－1。当＜时，＜，解得＝1。所以使＞的的集合是{－1}，使＜的的集合是{1}。

点评：解决数学问题是对数学概念的理解要准确，不要以偏概全。

五、规律总结

1.几个重要的不等式：

 ① ≤≤  ②≤；                

③如果，则≥≥≥

2.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和

有最小值。

3.如何正确选择综合法、分析法、反证法

（1）综合法常用于由已知推结论较易找到思路时．

（2）分析法常用于条件复杂，思考方向不明确，运用综合法较难证明时．

（3）单纯应用分析法证题并不多见，常常是用分析法找思路，用综合法写过程，因为综合法宜于表达，条理清晰．

（4）注意分析法的表述方法：“要证明…，只需证明…，因为…成立，所以…成立”，“为了证明…，只需证明…，即…，因此只需证明…”．

（5）在证明一些否定性命题，惟一性命题，或含有“至多”，“至少”等字句的命题时，正面证明较难，则考虑反证法，即“正难则反”．

（6）利用反证法证题时注意：①必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．

4．的乘方规律：

5．特殊式的化简：；，

六、能力突破：

例1 若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为

A．               B．             C．          D．

分析：找出的关系后用基本不等式解决。

解析：圆的直径是，说明直线过圆心，

故，，选C。

点评：本题所用的方法称为“常数代换法”，是使用基本不等式求最值时所常用的方法，要注意体会。

反思：高考中对基本不等式的考查主要就集中在用其求最值上，在复习中要注意这个特点。

例2 已知数列满足，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求；

（3）设，求证＜．

分析：（1）通过对递推式的变换将问题转化为两类基本数列解决；（2）求出数列的通项公式后，结合数列和的特点探求解决的方法。

解析：（1）由已知，得，∴是公比为2的等比数列，首项为．

∴，．

    （2）． =，   ①

                  2= ， ②

    ①-②，得   -=，

    ∴==．

    （3）当时，=＜=．

    ∴==

=＜．  

点评：解决递推数列的基本方法就是通过变换递推式将其转化为两类基本数列，本题第（1）问也可采用迭代法来完成，还可使用数学归纳法来实施；第（2）问是一个用“错位相减法”求数列的前和问题； 第（3）问是将数列中的项放大后，将其拆为能“正负相消”的方式解决的，本题是从第四项开始放大的，若将结论减弱为＜．则所提供的解法中，只须保留原来的两项，或者也可以直接将，从第3项起，放大为．解决数列类不等式时最容易出现的问题就是在放大的时候找不到恰当的“标准”，找不到“放大点”，本题考生即使找到了放缩关系式，若从就开始放大，结果是，这样就没有办法证明题目所要求的结论了，当考生碰到这种情况时，就要有调整“放大点”的意识。

反思：高考对递推数列的考查主要是能把所给的递推数列转化为两类基本数列的类型，新课标高考很注意数列的地位，往往把数列知识和函数、方程、不等式等知识相互综合，形成一个重在考查数学思想方法，检测考生综合数学素养的综合性解答题，2008年课标区的数列试题充分说明了这个特点。

七 高考风向标

考点1.一元二次不等式

例  （08年高考海南宁夏卷理6）已知，则使得都成立的取值范围是（    ）

A．（0，）           B． （0，）          C． （0，）  D． （0，）

分析：本题考查一元二次不等式的解法。“都成立的取值范围”本质上是一个不等式组的解集，由于这几个不等式结构一样，其中解集“最小”的一个不等式的解集即是不等式组的解集。，

解析：即，即，由于，这个不等式可以化为，即，若对每个应最小，即应最大，也即是，选A。

点评：把一元二次不等式解错，或是对“都成立”理解错误，都可能解错本题。

考点2. 简单的线性规划

例2（08年高考山东卷文16）设满足约束条件则的最大值为           ．

分析：本题考查简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数的最值一般是在可行域的顶点上取得，特殊情况下在可行域的边界上取得，即使是在可行域的边界上取得，也是在顶点处取得，故解答此类高考试题，找出可行域的顶点，直接代入目标函数式检验就可以得到问题的答案。

解析：约束条件是一个四边形区域，其四个顶点是，根据目标函数取最值是在区域的顶点上（本题不会在边界上），检验知当时，目标函数取最大值。

点评：不了解二元一次不等式所表示的半平面的确定方法，画错可行域，或是算错可行域的顶点，或是把目标函数的最小值当成了最大值等。

考点3.基本不等式的应用

例3 （08年高考江苏卷11） 设为正实数，满足，则的最小值是         。

分析：将三个字母消掉一个，将三元的问题转化为二元，用基本不等式探究问题的答案。

解析： ，故，当且仅当时取等号。

点评：本题在一个新的环境下考查利用基本不等式求最值，解题的关键是根据已知条件消掉目标式中的，通过对目标式的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的情景。

例4 （2008高考广东文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）

解析：根据题意，

平均综合费用，由于，等号当且仅当，即时成立，故为了使每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为层。

答案：该楼房应建为层。

【点评：本题考查数学建模和求解能力，解题的关键是正确理解题目中所给出的数学模型，根据这个模型建立函数关系式。

考点4.合情推理

例5（08年高考江苏卷9）如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： (      )。

分析：根据图形和直线方程的对称性类比解决。

解析：画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．

点评：本题以直线与方程为依托考查类比推理，是一道设计巧妙，难度合适的考查合情推理的试题。“观察、类比”是解决本题的基本思想，由于直线在图形上的“对称性”，在其方程上也不然有某种“对称性”，观察直线的方程和题目给出的直线的部分方程，他们的共性是的系数一样，那就只有的系数具备“对称性”，这样就不难知道问题的答案了。

考点5.复数的概念和运算

例6(08年高考山东卷理2文2)设的共轭复数是，若，，则等于（    ）

A．        B．      C．      D．

分析：本题考查复数的概念、共轭复数的概念、复数的除法运算等基础知识，考查方程、分类讨论等数学思想，考查运算能力。解题的关键是利用方程的思想，求出复数。

解析：方法一：设，则，得，又，得，故，所以，故选D.

方法二：，两端平方得，又，所以，即，所以，故选D.

点评：概念模糊，不能正确地求出复数；或是不能根据问题的情景，分情况解决；或是对复数的除法运算法则认识不清等，是本题出错的主因。

八、沙场练兵：

1．实数满足则的值为                    （    ）

                  A．8             B．-8            C．8或-8          D．与无关

1. A            提示：由条件去绝对值得8．

2．若函数是奇函数，且在（），内是增函数，，则不等式

的解集为                                                           （    ）

A．           B．

C．               D．    

2.D             提示：由题意作的图象，易得

3．若，则下列不等式中一定成立的是                            （   ）

A、    B、    C、    D、

3.A 提示：∵，∴，∴。

4．双曲线的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是                                  （   ）

A、   B、   C、    D、

4.A 提示：双曲线的两条渐近线方程为，过（3，0）且平行于的直线是和，∴围成的区域为A。

5．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（    ）

A．           B．      C．2        D．

5.B        提示：，

即。

6.不等式组，表示的区域为D，点P₁（0，-2），P₂（0，0），则    （    ）

A．  B． C． D．

6.C

7．若a,b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga?lgb的最大值是          (    )

A. 0               B. 1                C. 2               D.

7. B       提示：。翰林汇

8．在三个结论：①，② 

③，其中正确的个数是　　  　             　　　　　　　（    ）

                  A．0              B．1              C．2          D．3

8.D 提示：可以证明3个不等式都成立。

9．给定集合A、B，定义，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合中的所有元素之和为                                           （    ）

A.15    B.14     C.27    D.-14

9.A 提示：，1+2+3+4+5＝15。

10．观察式子：，…，则可归纳出式子为（   ）

A、         B、

C、         D、

10.C   提示：用n=2代入选项判断。

11.(理) 复数是纯虚数，则实数的值是（   ）

A．              B．             C．             D．

11. (理) A 提示：，解得，故选 ．

11（文）．写出数列的一个通项公式是（　　）

Ａ．                       Ｂ．

Ｃ．           Ｄ．

11（文）．Ｃ    提示：即可以直接归纳也可以用选择支的通项公式检验，重在考查合情推理解决问题的意识。

12．(理)已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值分别是（  ）

                A．            B．            C．   D．

12. (理) C    提示：由且解得，选C．

12（文）．若四面体的四个顶点为，类比平面直角坐标系中三角形的重心，可得此四面体的重心为（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

12（文）．Ｃ    提示：若三角形三顶点的坐标是，则三角形的重心坐标是，有理由猜测四面体的重心是。

13．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为           。

13.59  提示：记这一系列三角数构成数列，则由归纳猜测，两式相加得。或由，猜测。

14．设满足则使得目标函数的值最大的点是     ．

14.   提示：作出可行域即可发现。

15．若a、b、c、d均为实数，使不等式>>0和ad<bc都成立的一组值(a、b、c、d)是_____________________________.(只要写出适合条件的一组值即可)

15.(2,1,-3,-2)    提示：只需保证a、b、c、d的值满足a、b同号，c、d同号且满足其他条件即可.

16．若规定，则不等式的解集为            。

16.   提示：，∴或。

九、实战演习

1．命题甲：，命题乙：．则命题甲是乙的  （    ）

A．充分非必要条件                  B．必要非充分条件

C．充要条件                        C．既非充分又非必要条件

答案: 。解析：的解集为或的解集为，∴乙甲。

2．若是偶函数，且当的解集是（    ）

A．（－1，0）                       B．（－∞，0）∪（1，2）

C．（1，2）                         D．（0，2）

答案： D．解析：由题意作的图象由图象易得。

3．不等式ax²+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是                (    )

A． 10           B．?10           C． 14             D． ?14

答案：D 。解析：的两根为，∴，∴，∴。 翰林汇

4．设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域

(不含边界的阴影部分)是                                                    (   )

答案:A。解析：，故选A

5．（文）设点，其中，满足的点的个数为              （   ）

    A、10个            B、9个             C、3 个             D、无数个

答案:A。解析：x,y可取0，1，2，3且满足条件即可。

6．若关于的方程有解，则实数的取值范围是   （    ）

                  A．           B．   

                  C．                         D．

答案：D。解析：。

7．设且，则　　　　　　　　　　　　　　　　（    ）

A．                B． 

C．                 D．

答案：A。解析：。

8．如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于    （    ）

 A.     B. 

 C.      D.        

答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率等于.事实上对直角△应用勾股定理,得,即有,

注意到,,变形得.

9．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为                       （    ）

A、     B、    C、  D、

答案：B。解析：由，利用累加法，得。

10．用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是（  ）

A、假设三内角都不大于60度；        B、 假设三内角都大于60度；

C、假设三内角至多有一个大于60度；  D、 假设三内角至多有两个大于60度。

答案：B。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。。

11.复数的值是（  ）

A．                 B．               C．            D．

解析：.故选．

答案：A。

12.设复数，则等于（   ）

(A)               (B)               (C)               (D)

答案：C. 解：．

11（文）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A―BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （    ）

(A)AB²+AC²+ AD²=BC²+ CD² + BD²        (B)

(C)     (D)AB²×AC²×AD²=BC² ×CD² ×BD²

解析:，故选（C）。

答案:C.

12（文）．设都是正数，则三个数（　　）

Ａ．都大于2

Ｂ．至少有一个大于2

Ｃ．至少有一个不大于2

Ｄ．至少有一个不大于2

答案：Ｃ。解析：，即三个数中至少有一个不小于。

13．设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______________________.

答案：2-4lg2。解析：∵x>0,y>0,5=x+y≥2,∴xy≤()².  当且仅当x=y=时等号成立.   故lgx+lgy=lgxy≤lg()²=2-4lg2.

14．数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列，若=                    ，则数列{}也为等比数列.

答案：。

15． 的三个顶点坐标分别为，则内任意一点所满足的条件为                                      ．

 答案:   。解析：分别计算三边的直线方程，然后结合图形可得。

16．若方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是__________________．

答案：。解析：。

17.设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：．

解析：∵     ∴    ∴

                  ∴

18．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．

解析:设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元