江西省吉安市2009届高三第一次模拟考试
理 科 数 学
吉安一中 贺姓芳
命题人： 审校：吉安市教研室 杜小许
吉水二中 王跃兴
本试卷第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1、答题前，考生务必将自己的准考证号。姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3、考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么 球的表面积公式
如果事件、相互独立，那么 其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是
，那么 
次独立重复试验中恰好发生
次的概率 其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
2．已知数列
为等差数列，且
，则
A．
B．
C．
D．
3．设函数
，且
的图象过点
，则
A．
B．
C．
D．
4．将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的
倍，再向右平移
个单位，得到的函数的一个对称中心是
A．
B．
C．
D．
5．复数
，且
，则
的值
A．
B．
C．-
D．
6．设二项式 
的展开式中各项系数之和为
，二项式
的展开式中各项的二项式系数之和为
，且点
在直线
上，则
A． B．
C．
D．
7 一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥(记为
)和另一个几何体(记为
)，若的体积为
，的体积为
，则关于的函数图象大致形状为
8．若方程
表示双曲线，则它的焦点坐标为
A．
B．
C．
D．由
决定
9已知直线
及
与函数
的图象的交点分别为
，与函数
的图象的交点分别为
，则直线
与
A．平行 B．相交且交点在第二象限
C．相交且交点在第三象限 D．相交且交点是原点
≥
10．设二元一次不等式组所 
≥ 表示的平面区域为
，使函数
≤
的图象过区域的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
11．已知
，且
则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
12．连续掷骰子两次得到的点数分别为
，作向量
，则与向量
的夹角成为直角三角形内角的概率是
A．
B．
C．
D．
吉安市高三第一次模拟考试
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。
13．设随机变量
～
，若
，则
_______。
14．数列为
…则此数列的第
项
_______________。
15．已知点
在同一个球面上，
平面
，
，若
，
，
，则
两点间的球面距离是_______________。
16．给出下列命题：
①不存在实数
使
的定义域、值域均为一切实数；
②函数
图象与函数
图象关于直线对称；
≥
③函数
是
上的连续函数；
④
是方程
表示圆的充分必要条件．
其中真命题的序号是______________________。(写出所有真命题的序号)
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分12分)
已知向量
，
，定义函数
(1)求
的最小正周期
；
(2)若
的三边长
成等比数列，且边
所对角
的取值集合为，则当
时，求函数的最大值。
18．(本小题满分12分)
等差数列的公差不为零，
成等比数列，数列
满足：
(1)求数列、的通项公式；
(2)若≤
，求
19．(本小题满分12分)
一个盒子装有完全相同的6张卡片，上面分别写着如下6个定义域均为R的函数：
。
(1)从盒子中随机取出2张卡片，将卡片上的两个函数相加得一个新的函数，求所得函数是偶函数的概率；
(2)从盒子中不放回地取卡片，每次取出一张，直至写有奇函数的卡片被全部取出为止，求抽取次数的数学期望。
20．(本小题满分12分)
如图，在直四棱柱
中，
为中点，点
在
上。
(1)试确定点的位置，使
；
(2)当时，求二面角
的大小。
21．(本小题满分12分)
已知椭圆
与抛物线
的交点分别为
，如图所示，
椭圆和抛物线在点
处的切线分别为
和
，且斜
率为
和
(1)当
为定值时，求证：
为定值(与
无关)；
(2)设
且与轴的交点为
，求
的最小值和此时椭圆的方程。
22．(本小题满分14分)
设函数
(1)判断在区间
上的增减性并证明之；
(2)若不等式≤≤
对一切
恒成立。
①求实数的取值范围；
②设≤≤
，求证：
≥
吉安市高三第一次模拟考试理科数学试卷
一、选择题(5分×12=60分)
B B D D C B B D D C A A
二、填空题(4分x 4=16分)
13．0.1
14．63
15．
16．①③
三、解答题(12分×5+14分=74分)
17．解：(1)
2分
……………………4分
∴
的最小正周期为
…………………6分(2)∵
成等比数列 ∴
∴
≥
………………………8分
∵
∴
≤
即
≤
∵
∴
≤
………………………………………………10分
18．解：(1)设
公差
由
成等比数列得
…………………1分
∴即
∴
舍去或
…………………………3分
∴
………………………………………………4分
又
………………………………………………5分
∴
………………………………………7分
(2)
………………………………………………8分
当
时，
………………………………………10分
当
时，
…………………………7分
19．解：(1)记“任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到偶函数”为事件A，
……………………………………………………4分
(2)
可能值为
……………………………………………………………5分
…………………………10分
∴
…………………………12分
20．解：(1)连结
为正△
…1分
面
3分
面
面
即点
的位置在线段
的四等分点且靠近
处 ………………………………………6分(2)过
作
于
，连
由(1)知面
(三垂线定理)
∴
为二面角
的平面角……9分
在
中，
在
中，
∴二面角的大小为
………………………………………12分
(说明：若用空间向量解，请参照给分)
21．解：(1)设
，由
取
得
则
……………………2分
∴
…………………………12分
又∵
为定值，
则
………………5分
∵
为定值，∴
为定值。
(2)∵
，∴抛物线方程为：
设点
则
由(1)知
则
………………………………8分
又∵
过点
∴
∴
∴
………………………………9分
代入椭圆
方程得：
∴
≥
………………11分
当且仅当 即 上式取等号
∴此时椭圆的方程为：
………………………………………12分
22．解：(1)∵ 
∴
…1分
设
则
……2分
∴
在
上为减函数 又
时，
，∴
∴在上是减函数………4分(2)①∵
∴
或
时
∴
…………………………………6分
又≤
≤
对一切
恒成立
∴≤≤
……………8分
②显然当
或
时，不等式成立
…………………………9分
当
，原不等式等价于
≥
………10分
下面证明一个更强的不等式：≥
…①
即
≥
……②亦即
≥
…………………………11分
由(1) 知在
上是减函数 又
∴
……12分
∴不等式②成立，从而①成立 又
∴＞
综合上面∴
≤
≤且≤≤
时，原不等式成立 ……………………………14分
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