348. 正方体中，二面角的大小的余弦值为(　)．

　A．0　　 　 B．　　　 C．　　　D．

解析：B．取BD中点O，连结、，则，，∴　为二面角的平面角，设为q ，设正方体棱长为a，则，

∴　

∴　

347. 线段AB长为2a，两端点A、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角为45°和30°，那么A、B在棱上的射影间的距离为(　)．

　A．2a　 　　 B．a 　　　　　C．　 　 D．

解析：B．如图答9-39，设直二面角为a -l-b ，作AC⊥l于C，BD⊥l于D，则AC⊥b ，BD⊥a ，连结AD、BC，∴　∠ABC为AB与b 所成的角，∠BAD为AB与a 所成的角，∴　

∠ABC=30°，∠BAD=45°，∵　AB=2a，∴　AC=a，．在Rt△ACD中，，∴　CD=a．

图答9-39

346. SA、SB、SC是从S点出发的三条射线，若，，则

　二面角B-SA-C的大小为(　)．

　A．　 　 B．　 　　 C．　 　　D．

解析：C．在SA上任取一点E，作EF⊥SA交SC于F，作EG⊥SA交SB于G，连结FG，则∠GEF为二面角B-SA-C的平面角．

345. 如图9-45，二面角a -l-b 的平向角为120°，A∈l，B∈l，ACa ，BDb ，AC⊥l，BD⊥l．若AB=AC=BD=1，则CD长为(　)．

　A．　 　 B．　 　　C．2　　　 D．

解析：B．在平面b 内作AE∥BD，DE∥BA，得交点E．则∠CAE为二面角a -l-b 的平面角，故∠CAE=120°，于是．在Rt△CED中可求CD长．

344. 直线l、m与平面a 、b 满足l⊥平面a ，mb ，以上四个命题：

　①a ∥b l ⊥m；②a ⊥b l∥m；③l∥ma ⊥b ；④l⊥ma ∥b ．

　其中正确的两个命题是(　)．

　A．①与②　　B．③与④　　C．②与④　　D．①与③

解析：D．

343. 已知a -l-b 是直二面角，直线aa ，直线bb ，且a、b与l都不垂直，那么(　)．

　A．a与b可能平行，也可能垂直

　B．a与b可能平行，但不可能垂直

　C．a 与b不可能平行，但可能垂直

　D．a 与b不可能平行，也不可能垂直

解析：B．当，时，a∥b，即a、b可能平行，假设a⊥b，在a上取一点P，作PQ⊥l交l于Q，∵　二面角a -l-b 是直二面角，∴　PQ⊥b ，∴　PQ⊥b．∴　b垂直于a 内两条相交直线a和PQ，∴　b⊥a ，∴　b⊥l．这与已知b与l不垂直矛盾．∴　b与a不垂直

342. 已知异面直线a、b成角，过空间一点p，与a、b也都成角的直线，可以作(　)

　A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．4条

解析：C

341.　 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB＝a,BA＝CA＝AA₁＝a,A₁在底面ΔABC上的射影O在AC上。

(1)求AB与侧面AC₁所成的角

(2)若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积

解析： (1)A₁O⊥面ABC，BC面ABC，∴BC⊥A₁O，又∵BC＝CA＝a，AB＝a,∴ΔABC是等腰直角三角形，∴BC⊥AC，∵BC⊥面AC₁，故∠BAC为BA与面AC₁所成的角，则有∠BAC＝　　　 45°，即AB与侧面成45°角。

(2)若O恰为AC中点，∵AA₁＝a,AC＝a,∴AO＝,A₁O＝a,＝a²，作OD⊥AB于D，连结A₁D，由三垂线定理得A₁D⊥AB，在RtΔAOD中，OD＝OAsin∠BAC＝·＝a²，在RtΔA₁OD中，A₁D＝＝,＝a··a＝a²，∴＝(2++)a²

360.　 如图，设平面AC与平面BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P∈平面AC，Q∈平面BD，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，且M在BC上，又直线PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ＝θ，0°＜θ＜90°，设线段PM＝a，求PQ的长.

解析：在ΔPMQ中因为PM＝a,∠PQM＝β，欲求PQ的长，根据正弦定理只要能求出sin∠PMR就行了.

解　 设PMR＝α，作PR⊥MQ于R，显然PR⊥平面BD.

作RN⊥BC于N，连PN，则PN⊥BC.∴∠PNR＝45°，∠PQM＝β.

在直角ΔPMR中：PR＝asinα,MR＝acosα.

在直角ΔMNR中：NR＝MRsinθ＝acosαsinθ.

∵PR＝NR，∴asinα＝acosαsinθ.

∴tanα＝sinθ,cosα＝,sinα＝.

在ΔPMQ中由正弦定理：

＝,

∴PQ＝＝.

评析：本题是利用正弦定理通过解斜三角形求出PQ的长，当然也可以通过三个直角三角形中的关系转换，先出求PR，最后在直角ΔPQR中利用锐角函数处理，相比之下，还是给出的解法略为简便些.

359.　 如图，二面角α-DC-β是α度的二面角，A为α上一定点，且ΔADC面积为S，DC＝a，过点A作直线AB，使AB⊥DC且与半平面β成30°的角，求α变化时，ΔDBC面积的最大值.

解析：在α内作AE⊥DC于E，则AE为ΔADC的高，则有AE·DC＝，AE＝.

由于DC⊥AE，DC⊥AB，则有DC⊥ΔAEB所在的平面，所以DC⊥BE，则∠AEB是二面角α-DC-β的平面角，即∠AEB＝α.

又由于DC⊥ΔAEB所在平面，且DC在β上，所以平面β⊥ΔAEB所在平面.

令AF⊥BE于F，则有AF⊥平面β，于是，FB是AB在平面β上的射影，所以∠ABE是AB与β所成的角.

∴∠ABE＝30°，在ΔAEB中，有＝，∴EB＝sin(α+30°).

据题意，有α∈(0°，180°)，当α＝60°时，有EB_max＝，这时(S_ΔDBC)_max＝a·＝2S.

说明　 本例对直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到直线的距离，点到平面的距离等概念以及三垂线定理和逆定理的考察是很深刻的，综合了直线与平面这一章的一些主要知识.