248.　 已知：A₁、B₁、C₁和A₂、B₂、C₂分别是两条异面直线l₁和l₂上的任意三点，M、N、R、T分别是A₁A₂、B₁A₂、B₁B₂、C₁C₂的中点.求证：M、N、R、T四点共面.

证明　 如图，连结MN、NR，则MN∥l₁,NR∥l₂，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l₁∥l₂与条件矛盾).∴　 MN、NR可确定平面β，连结B₁C₂，取其中点S.连RS、ST，则RS∥l₂，又RN∥l₂，∴　 N、R、S三点共线.即有S∈β，又ST∥l₁，MN∥l₁，∴MN∥ST，又S∈β，∴　 STβ.

∴　 M、N、R、T四点共面. =2：1

又是正三角形的BD边上的高和中线,∴点G是正三角形的中心.故，即。

证明二：由(I)知，，，

当时，平行六面体的六个面是全等的菱形.同的证法可得，　又，所以。　

247.设相交于G.，，且，所以如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求异面直线A₁C₁与BD₁的距离.

解析：本题的关键是画出A₁C₁与BD₁的公垂线，连B₁D₁交A₁C₁于O，在平面BB₁D₁内作OM⊥BD₁，则OM就是A₁C₁与BD₁的公垂线，问题得到解决.

解　 连B₁D₁交A₁C₁于O，作OM⊥BD₁于M.

∴　 A₁C₁⊥B₁D₁，BB₁⊥A₁C₁，BB₁∩B₁D₁＝B₁.

∴　 A₁C₁⊥平面BB₁D₁.　 ∴　 A₁C₁⊥OM，又OM⊥BD₁.

∴　 OM是异面直线A₁C₁与BD₁的公垂线.

在直角ΔBB₁D₁中作B₁N⊥BD₁于N.

∵　 BB₁·B₁D₁＝B₁N·BD₁，a·a＝B₁N·a，

∴　 B₁N＝a,OM＝B₁N＝a.

故异面直线A₁C₁与BD₁的距离为a.

评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线、面垂直的关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求OM的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系.

246.如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，(1)证明： ；

(II)假定CD=2，，记面为α，面CBD为β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；

(III)当的值为多少时，能使？请给出证明. 解析：(I)证明：连结、AC，AC和BD交于.，连结， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD， 可证，，

故，但AC⊥BD，所以，从而；　　　　　　

(II)解：由(I)知AC⊥BD，，是二面角α-BD-β的平面角，在中，BC=2，，，　∵∠OCB=60°，，，故C₁O=，即C₁O=C₁C，作，垂足为H，∴点H是.C的中点，且，所以;

(III)当时，能使

证明一：∵，所以，又，由此可得，∴三棱锥是正三棱锥.，　　　　　　　　　

245.已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是DD₁的中点，且截面EAC与底面ABCD成45⁰角，AA₁=2a，AB=a，(1)设Q是BB₁上一点，且BQa，求证：DQ面EAC；(2)判断BP与面EAC是否平行，并说明理由？(3)若点M在侧面BB₁C₁C及其边界上运动，并且总保持AMBP，试确定动点M所在的位置。

解析：(1)证：首先易证ACDQ，再证EODQ(O为AC与BD的交点)在矩形BDD₁B₁中，可证EDO与BDQ都是直角三角形，由此易证EODQ，故DQ面EAC得证；

(2)若BP与面EAC平行，则可得BP//EO，在三角形BPD中，O是BD中点，则E也应是PD中点，但PD=DD₁=a，而ED=DO=BD=a，故E不是PD中点，因此BP与面EAC不平行；

(3)易知，BPAC，要使AMBP，则M一定在与BP垂直的平面上，取BB₁中点N，易证BP面NAC，故M应在线段NC上。

244.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, (1)求MN的长(用x,y表示)；(2)求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。

解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN²=

，在中，MN=

；

(2)MN，故当，时，MN有最小值。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。

243. 如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN ,(1)求证:MN//面BCE ; (2)求证:MNAB;　

(3)求MN的最小值.

解析：(1)如图,作MG//AB交BC于G, NH//AB交BE于H, MP//BC交AB于P, 连PN, GH , 易证MG//NH,且MG=NH, 故MGNH为平行四边形,所以MN//GH , 故MN//面BCE ;

(2)易证AB面MNP, 故MNAB ;

(3)即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即,设AP=x , 则BP=a－x , NP=a－x ,　所以：

　，

故当时，MN有最小值．

242.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=(1)求MN的长；

(2)当为何值时，MN的长最小；　 (3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

解析：(1)作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴,, 即,

∴

(2)由(1)知: ，

(3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，

∴∠AGB即为二面角α的平面角。又，所以由余弦定理有

。故所求二面角。

241. 已知点P是正方形ABCD所在的平面外一点，PD面AC，PD=AD=，设点C到面PAB的距离为d₁，点B到平面PAC的距离为d₂，则(　　　 )

(A) <d₁ <d₂(B)d₁< d₂<(C)d₁<< d₂(D)d₂<d₁<

解析：，，故d₂<d₁<，选D。

40. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。

(1)求证：MN是AB和PC的公垂线

(2)求异面二直线AB和PC之间的距离

解析：(1)连结AN，BN，∵△APC与△BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点

∴AN=BN

又∵M是AB的中点，∴MN⊥AB

同理可证MN⊥PC

又∵MN∩AB=M，MN∩PC=N

∴MN是AB和PC的公垂线。

(2)在等腰在角形ANB中，

即异面二直线AB和PC之间的距离为.

38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，求AD与BC所成角的大小

(本题考查中位线法求异面二直线所成角)

解析：取BD中点M，连结EM、MF，则

　 39. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AA₁和BB₁的中点，求异面直线CM与D₁N所成角的正弦值.(14分)

(本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角)

解析：取DD₁中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MC∩BG=0

则BG和MC所成的角为异面直线CM与D₁N所成的角.

　 而CM与D₁N所成角的正弦值为