488. 判断下列命题是否正确，并说明理由．

　(1)空间两条直线可以确定一个平面；

　(2)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条；

　(3)垂直于同一条直线的两条直线平行；

　(4)直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行；

　(5)直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

　(6)直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面；

　(7)一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．

解析：(1)不正确．两条异面直线不能确定一个平面．

　(2)不正确．垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线--与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一条．

　(3)不正确．垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面．

　(4)正确．由公理4可知．

　(5)不正确．a、c可能平行，还可能异面．

　(6)不正确．a、c可能异面，但也可能平行或相交．

(7)正确．因为直线与两条平行线所成的角相等

487. 如图9－26，P为△ABC所在平面外一点，点M、N分别是△PAB和△PBC的重心．求证：MN∥平面ABC．

　(三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍)

图9－26

解析：如图答9－16，连结PM并延长交AB于D，连结PN并延长交BC于E，连结DE．在ΔPAB中，∵　 M是ΔPAB的重心，∴　 ，同理在△PBC中有，在△PDE中，∵　 ，∴　 MN∥DE，∵　 MN平面ABC，DE平面ABC，∴　 MN∥平面ABC．

486. 如图9－25，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．

解析：

485. 已知平面a∩平面b＝l，A∈a，B∈a，C∈b (如图9－24)，在下列情况下求作平面ABC与平面b的交线，并说明理由．

　(1)ABl；(2)AB∥l．

解析：(1)∵ABl，AB与l共面于a，∴　 AB与l相交，设AB∩l＝D，连结CD，则CD＝，这是因为D∈AB，D∈l，∴　 D∈平面ABC，D∈b，∴　 D为平面ABC与平面b 的一个公共点，∴　 平面ABC与平面b的交线是过D的一条直线，又C是平面ABC与平面b 的另一个公共点，且平面ABC与平面的交线是过C的一条直线，所以平面＝CD．

图答9－15

　(2)在平面b内过C作CE∥l，则CE＝．∵　 AB∥l，ABb，lb，∴　 AB∥平面b．∵　 平面ABC与平面b 有一个公共点C，∵　 平面ABC与b相交于过C的一条直线m．∵　 AB平面ABC， ＝m，AB∥b，∴　 AB∥m．∵　 AB∥l，∴　 l∥m．于是在b 内过C作l的平行线即为所求的交线．

484. 在正方体ABCD-中，E、F分别为BC、的中点，求证：直线EF∥平面．

解析：取BD中点G，连结EG，．可证为平行四边形(还有其他证法)．

483. 已知三个平面a、b、g 满足＝a，＝b，＝c，且a∥g ，求证：b∥a，c∥b．

如图答9－14，解析：

　同理可证c∥b．

482. 如图9－23，在正方体ABCD-中，E为上不同于B、的任一点，，．求证：

图9－23

　(1)AC∥平面；

　(2)AC∥FG．解析：

481. 如图9－22，已知a∥a，B、C、D∈a，A与a在平面a的异侧，直线AB、AC、AD分别交a于E、F、G三点，若BC＝5，AD＝7，DG＝4，则EF的长为_________．

解析：∵　 E、F、G是平面ABC与平面a的公共点，

　∴　 E、F、G共线，

　∵　 BC∥a，∴　 BC∥EF，

　∴　 ，∴　

500. 如图9－16，在棱长为a的正方体ABCD-中，求异面直线AC和的距离．

解析：连结交于，连结BD交AC于O，连结，在矩形中，是中点，O是AC中点，则于O．同理于，∴　 是异面直线AC和的公垂线．∵　 ＝＝a，∴　 AC与间的距离为a．

499. 如图9－15，已知A是平面BCD外一点，满足AC＝BD，M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点．求证：QN⊥PM．

解析：在△ABC中，∵　 Q是AB中点，M是BC中点，∴　 MQ∥AC，且MQ＝AC，同理PN∥AC，且PN＝AC．∴　 QMPN．∴　 四边形MNPQ是平行四边形，又 ∵ PQ＝BD，QM＝AC，AC＝BD，∴　 PQ＝QM，∴　 平行四边形MNPQ是菱形，∴　 QN⊥PM．