1.用平均数估计总体

　详释：(这是重点)平均数受样本中的每一个数据的影响，代表了总体的平均水平.

　例1　在一批试验田里对某种早稻品种进行丰产栽培试验，抽测了其中14块试验田的单位面积(单位面积的大小为)的产量如下(产量的单位为kg)：

　504　402　495　500　501　405　409

　460　486　460　371　420　456　395

　这批试验田的平均单位面积产量约是多少？

　解：如果将这批试验田里每块试验田的单位面积产量的全体称为总体，那么所抽测的14块试验田的单位面积产量就组成从这个总体中抽取的一个样本.于是我们可以用这个样本的平均数对相应的总体平均数作出估计.

　用科学计算器算得≈447，

　即这14块试验田的平均产量为447kg，于是可以由此估计，这批试验田的平均单位面积产量约为447kg.

　规律总结：常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应两个总体平均数的大小.

例5　(2005年高考湖南卷试题)已知数列满足，，则等于(　)

A．0　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　 D．

解析：令，则；

令，则；

令，则．

由此发现，可猜想此数列具有周期性，

．故选B．

点评：由及递推关系先求出前几项，再归纳、猜想出，这一方法比较适用于选择、填空题．对于解答题，猜想出后，还应进一步证明(比如用数学归纳法)．

对某些递推数列问题，如果能透过其局部从整体着手，利用整体代入，往往能收到事半功倍之效．

例4　　　　 在数列中，为其前项和，若，，

并且，试判断是不是等比数列？

解析：将已知等式重新组合，得，即，

，．　　()

当时，，因此()式对，且成立，

是等比数列．

点评：从的整体着眼，将和整体代入，解题过程则十分简洁、明快．

例3　某城市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的，并且每年新增汽车数均为万辆．求年后汽车的保有量．

解析：从2001年起，该市每年末汽车保有量依次记为(单位：万辆)，则可以得到数列．

依题意，当时，．　　　①

设，即．　②

①，②比较，得，故．

则数列是首项为，公比为0.94的等比数列．

所以，

即．

点评：形如的递推数列求通项，适用此法．一般步骤是：令，即，与已知递推数列比较得出，于是．从而转化为是公比为的等比数列再求解．

例2　设是首项为1的正项数列，且满足，则它的通项公式　　　．

解析：由，得．

由，得，

，即．

所以，．

将以上个式子累乘，得．

因为，所以．

点评：形如的递推数列求通项适用此法．

　例1(高考广东卷试题)设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则　；

当时，　　　(用表示)．

　解析：，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数，所以，，，．

累加，得，

所以．

点评：形如的递推数列适用此法求通项．

　　　 主要有知图定式、知式定图、图象变换等问题，运用单调性、过特殊点及图象变换规律来解决．

例5　 (全国高考福建卷)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

　　　 若函数的图象与的图象关于　　　　 对称，则函数　　　　 ．(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)

　　　 解：运用常用对称结论：

　　　 若关于轴对称，则用分别代替原函数中的，可得；

　　　 若关于轴对称，则用分别代替原函数中的，可得；

　　　 若关于原点对称，则用分别代替原函数中的，可得；

若关于对称，则用分别代替原函数中的，可得等等．

　　　 主要是有关指、对数函数的逆向求解，如已知单调性求参数范围，已知函数值求自变量，已知恒成立求参数等．

例4　 (全国高考卷Ⅰ)设，函数，则使的的取值范围是(　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

解：由，得，又，故，

解得或(舍去)，所以．

故选(C)．

　　　 主要是判断增减性，求单调区间，利用单调性比较大小等．

例3　 (全国高考卷Ⅲ)若，则(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

解法1：(转化法)．

故选(C)．

解法2：(作差法)

，

所以；同理可得，所以．

故选(C)．

　　　 在处理反函数问题时，常常运用指、对数式的互化来解决，主要有以下两类：

(1)，经常还伴随着对数运算性质的应用；

(2)，经常还伴随着幂运算性质的应用．

例2　 (2005全年全国高考江苏卷)函数的反函数的解析表达式为(　　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　

C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

解：由已知得，运用指、对数式的互化，得，

所以其反函数的解析式为，即．

故选(A)．