对一求定义域问题主要掌握三大限制：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数的真数为正，底数大于零且不为1．

例1　 (2005年全国高考江苏卷)函数的定义域为　　　 ．

　　　 解：由题意知，，即

　　　 从而可得函数的定义域为．

3．方程思想

通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达到解决问题的目的.

例3　 过已知点的直线与圆相交于两点，且(其中为原点)，求直线的方程．

分析：因为，若设，则，由在圆及直线上，可借助方程求解．

解：设直线的方程为，

则点的坐标满足方程组

消去，得，

．　　①

由方程组消去，得，

．　　　　②

依题意知，，即．

由①，②知，，

整理，得，解得或．

所求直线的方程为或．

评注：本题巧用根与系数的关系，列出，进而求得方程．

2．转化思想

所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法.一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解决的问题通过变换转化为容易解决的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

例2　 求圆上的点到直线的最小、最大距离．

分析：由于圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最小(大)距离为圆心到直线的距离减去(加上)半径．

解：由圆的方程易知圆心坐标为，半径．

而到直线的距离为．

故圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为．

评注：凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题.

1．数形结合思想

例1　已知，，若，求的取值范围．

分析：由于本题所给圆不是整圆，而仅是圆的一部分，所以应用数形结合处理．

解：集合是斜率为1，在轴上截距为的一束平行线，集合是以原点为圆心，半径为3的圆在轴上方的部分(包括与轴的交点)．

由题意作出图形，如上图，当直线过时，．

当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得．

，由图形易知，故．

．

评注：在涉及到半圆或圆的一部分的题目时，应用数形结合处理较简单．

4．求参数范围问题

例4　在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为(　)．

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　 　　　 C．　　　　　　　　　 D．

解：已知等式可变形为，此式可看成点到定点的距离与到直线的距离之比为常数，由统一定义知，所以，故答案为D．

3．求轨迹方程

例3　点与点的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程．

解：由题意可知，点与点的距离和它到直线的距离相等，根据定义知，轨迹是抛物线．因此，∴，故点M的轨迹方程是．

2．求最值问题

例2　已知椭圆方程为，右焦点为，为其内部一点，为椭圆上一动点，求点坐标，使最小．

解：如图，由题意得

　，，

　∴，，

　由统一定义知即为到右准线的距离，

　因此，要使最小，点除了应在轴的右侧外，还要使与过点且与准线垂直的线共线即可，

　由，解得点坐标为．

1．求距离问题

例1　椭圆上一点到左焦点的距离为6，则点到右准线的距离是多少？

解：由第一定义，点到右焦点的距离为，

　再由统一定义，得，

　∴，所以点到右准线的距离为．

椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，在解题过程中，我们经常用到它们的统一定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离之比为常数的点的轨迹，当时，轨迹是椭圆；当时，轨迹是双曲线；当时，轨迹是抛物线．其中，点是曲线的焦点，直线是对应于焦点的曲线的准线，为离心率．

圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，如能巧妙运用统一定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决．

3．“放回”与“不放回”

　例3　从含有两件正品和一件次品的三件产品中每次任取一件，连续取两次．

　(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

　(2)若每次取出后放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

　解：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为：，其中小括号中左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则事件由这4个事件组成，因而；

　(2)有放回地取出两件，其一切可能的结果为：

，用表示“恰有一件次品”这一事件，则事件由这4个事件组成，因而．

　注：对于“互斥”与“对立”这两个易混概念的理解，既是重点又是难点，我们特在第四版《一定要抓住“互斥”与“对立”》一文中进行详细的讲解分析，大家可以参考学习．