2．三类角的定义及求法

(1)异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

(3)二面角：二面角的平面角

三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。

［练习］

(1)如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。证明：

为线面成角，

(2)如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中对角线BD₁＝8，BD₁与侧面B₁BCC₁所成的为30°。

①求BD₁和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD₁和AD所成的角；

③求二面角C₁-BD₁-B₁的大小。

(3)如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……

1．平行、垂直关系证明的思路

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

　　 线面平行的判定：

线面平行的性质：

三垂线定理(及逆定理)：

，为在内射影，，则

线面垂直：

面面垂直：，

10．常用函数的图象和性质

(1)

(2)反比例函数：推广为是中心的双曲线。

(3)二次函数的图像为抛物线

顶点坐标为，对称轴

开口方向：，向上，函数

　　　　　 ，向下，

应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系--二次方程，时，两根为二次函数的图像与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程的两根都大于，一根大于，一根小于

(4)指数函数：

(5)对数函数：

由图象记性质！(注意底数的限定！)

(6)“对勾函数”

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

必修二　　 一、 立体几何

9. 函数图象⑴图象作法 ：①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①　　 平移变换：ⅰ，---左“+”右“-”；

　　　　　　　 ⅱ---上“+”下“-”；

②　　 伸缩变换：

ⅰ， (---纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；

ⅱ， (---横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；

③　　 对称变换：ⅰ；ⅱ；

ⅲ ； ⅳ；

④　　 翻转变换：

ⅰ---右不动，右向左翻(在左侧图象去掉)；

ⅱ---上不动，下向上翻(||在下面无图象)；

8.函数的单调性。

如何用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负)

如何判断复合函数的单调性？

(外层)，(内层)，则

当内、外层函数单调性相同时，为增函数，否则为减函数

如：求的单调区间。

设，由，则且，，如图

当时，，又，∴

当时，，又，∴

∴……)

7. 函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑵是奇函数；

⑶是偶函数 ；

⑷奇函数在原点有定义，则；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6.求函数解析式的常用方法：

(1)待定系数法―已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。(答：)

(2)配凑法―①已知求的解析式___(答：)；②若，则函数=___(答：)；

(3)方程的思想―已知，求的解析式(答：)；

5.分段函数的概念。(1)设函数，则使得的自变量的取值范围是____(答：)；(2)已知，则不等式的解集是___(答：)

4.求函数值域(最值)的方法：

(1)配方法―①当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___(答：)；

(2)换元法①的值域为_____(答：)；②的值域为_____(答：)(令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围)；3 的值域为____(答：)；4的值域为____(答：)；

(3)函数有界性法―求函数，，的值域(答： 、(0,1)、)；

(4)单调性法――求，的值域为______(答：、)；

(5)数形结合法――已知点在圆上，求及的取值范围(答：、)；

(6)不等式法―设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.(答：)。

3.研究函数问题时要树立定义域优先的原则：

(1)函数的定义域是____(答：)；

(2)设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围；②若的值域是R，求实数的取值范围(答：①；②)

(3)复合函数的定义域：①若函数的定义域为，则的定义域为__________(答：)；②若函数的定义域为，则函数的定义域为________(答：[1,5])．