2.范围：倾斜角的取值范围是［0，π)

3公式：，① k＝tanα(直线的倾斜角为α，且α≠90°)

②k=(过两点P (x，y)，P (x，y2)且(x≠x))

4常见题型：①已知(或范围)求k(或范围)

　　　　　 ②已知k(或范围)求(或范围)

　　　　　 解题方法：数形结合法，即借助y=tanx(x［0，π))图像解决。

1.概念：直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角.

例3　已知直线过定点，在轴上的截距在的范围内，求直线在轴

上的截距的取值范围．

　解析：如图3，，设直线在轴上的截距为，

　易求得直线在轴上的截距分别为和3．

　由于直线在轴上的截距在的范围内，即为直线与线段(不包括端点)相交，

　或．

　故直线在轴上的截距的取值范围是．

例1　　　　　　　　 已知两点，过点的直线与线段有公共点，求

直线的斜率的取值范围．

解析：如图1，因为直线与线段有公共点，所以的倾斜角介于直线与直线

的倾斜角之间．当的倾斜角小于时，；当的倾斜角大于时，．

　由已知得，

，

　的取值范围是或．

　例2　已知直线与线段或的延长线相交，其中，求直线的斜率的取值范围．

　解析一：直线过定点，

　如图2，直线与线段或的延长线相交，

　或．

　，，

，

　或．

　解析二：当直线与线段相交时，或，即或；

　当直线与线段平行时，，

当直线与线段或的延长线相交时，且．

例6　 已知平面∥平面，线段AA′、BB′夹在两平行面之间，若E、F分别是线段AA′、BB′的中点。求证：EF∥平面，EF∥平面

错解　 如图6-1，∵平面∥平面，∴AB∥A′B′。∴四边形A A′B′B是梯形∵EF为梯形

A A′B′B的中位线，∴EF∥AB，EF∥A′B′。

∴EF∥平面，EF∥平面。

辨析　 一般来讲，AB与A′B′是异面直线， 于是A A′与B′B不平行， 四边形A A′B′B是空间图形，因此EF也不是梯形中位线。这样错解犯了以特殊代替一般的错误。

正解　 如图6-2，连结形A A′、B′B、A′B，取A′B的中点O，连结EO、FO。∵EO是△A′AB的中卫线，∴EO∥AB。∴EO∥平面。同理，FO∥A′B′，∴FO∥平面∴平面EFO∥平面∥平面。∴ EF∥平面，EF∥平面 。　　　　

例5　 在直二面角的棱上任取一点，从这点在两个面内作一条射线和棱成45角，求这两条射线间的尖角。

错解 如图5-1，直二面角d- -，AE，且∠BAD=∠CAD=45取AB=AC过B作BC⊥交AC于C,连结BD∵Rt△BDA≌Rt△CDA. ≌Rt△BDC, ∴AB=AC=BC .则△BAC为正三角形。∴∠BAC=60° 。

辨析　 解题时，因考虑不周，只考虑了AC、AB同向的情况，而漏掉了反向的情况。

正解　 (1)如图5-1，当AB、AC同向时，∠BAC=60°。

(2)如图5-2，当AB、AC反向时，取AB=AC=m，作BD⊥a于D，CE⊥a于E。这里∠BAD=∠CAE=45°，在△BDA中，BD=AD=m 。在△DAC中，DC=。　　

在Rt△BDC中 BC=，

在△ABC中∠BAC=。∴∠BAC=120°。

故所求两射线间的夹角为60°或120°。

例4 如图4-1，设二面角P-EF-Q，从点A分别作AB⊥平面P，作AC⊥平面Q，若，，.求二面角的度数。

错解 过三点的平面和平面分别交于、。∵EF⊥AC，EF⊥AB。∴EF⊥平面ABDC。∴BD⊥EF，CD⊥EF，故∠BDC为所求二面角的平面角。由∠BAC=60°，故∠BDC=120°，即二面角的平面角P-EF-Q的度数为120°。

辨析　 满足条件：AB=3，AC=1，∠A=60°，∠BDC=120°的四边形ABDC是不存在的。也就是说点A不可能在二面角内不，而是在二面角外，由于作图有误，导致计算错误，

正解 如图4－2，过点A、 B、C的平面与EF垂直，故∠BDC为二面角。AD为A到EF的距离，∵Rt△ADB、Rt△ACD在同一平面内，且AD为公共边，∴A、C、B、D四点公圆。∴∠BDC=∠BAC=60，故所求二面角P-EF-Q两度数是60。

例3 如图3，已知平面平面，线段分别交、于、，线段分别交、于、，线段分别交、于、，若，，，求△和△的面积之比。

错解 ∵，∴平面分别交、于、。

∴。同理，。由等角定理，

得，。∴△∽△。∴。

∴。

辨析 在证明过程中，如果两次证明的依据相同，可以使用“同理可证”。上述证明中，平面于、交于、，得，平面于、交于、，得，可用“同理可证”，但就不能用“同理可证”，因为、可能共面，也可能异面，故不一定成立，则两个三角形不一定相似。

正解 ∵，平面分别交、于、。∴。同理。由等角定理，得。∴，。∴。∴。∴＝＝。∴。即△和△的面积之比为。。

例2　 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和D的距离。

错解　 如图2，在直二面角的面ADC内，

自D作DE⊥AC于E，连BE、BD，则BD为

所求的距离。∵DE⊥AC，∴DE、BE同为两个

全等直角三角形斜边AC上的高，∴DE=BE=

︰AC=(4×3)︰5=。∵平面ADC平面ABC ，∴∠DEB=90 。

∴BD==DE= 。

辨析 错解中认为BE是Rt△ABC斜边上的高，而BE并不垂直AC。造成错误的原因是主观臆断，以猜测代替证明。

正解 作BF=DE= ，EC=DC︰AC= ，EF=AC--2EC=5-= 。在Rt△BFE中，BE == ，在Rt△BED中，BD=。

例1 如图1-1，二面角为锐角，E、F为两个面上的两点，，若E、F到棱AB的距离EC=FD。求证：EF与平面所成的角也相等。

过E、F作EC⊥AB、FD⊥AB，垂足

ED=FC，又EF=EF，∴△ECF≌△FDE。

∴∠EFC=∠FED。

即EF与平面所成的角相等。

辨析 由题意，EC只垂直AB，而不垂直于平面，根据直线与平面所成角的定义知，∠EFC不是EF与平面所成的角，而∠FED也不是EF与平面所成的角。因此，以上证明是错误的，造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清。

的平面角。同理，∠FDH也是二面角

的平面角。∴∠ECG=∠HDF。则Rt△EGF≌Rt△FHE。则∠EFG=∠FEH。故EF与平面所成的角也相等。