1.命题“若a>b,则a-5>b-5”的逆否命题是(　　 )

A.若a<b,则a-5<b-5　　　　　　　　　　　 B.若a-5>b-5,则a>b

C.若a≤b,则a-5≤b-5　　　　　　　　　　　 D.若a-5≤b-5,则a≤b

答案：D

解析：“a>b”的否命题为“a≤b”,“a-5>b-5”的否命题为“a-5≤b-5”,故选D.

14.(1)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x²-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；

(2)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x²-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围.

解析：(1)当x>2或x<-1时，x²-x-2>0,

由4x+p<0得x<-,故-≤-1时,

“x<-”“x<-1”“x²-x-2>0”.

∴p≥4时，“4x+p<0”是“x²-x-2>0”的充分条件.

(2)不存在实数p，使“4x+p<0”是“x²-x-2>0”的必要条件.

13.已知关于x的方程：(a-6)x²-(a+2)x-1=0.(a∈R),求方程至少有一负根的充要条件.

解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=-.

当a≠6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x₁x₂=-<0,即a>6.

方程有两负根的充要条件是：

即2≤a<6.

∴方程至少有一负根的充要条件是：2≤a<6或a=6或a>6,即a≥2.

12.已知a,b是实数，求证：a⁴-b⁴=1+2b²成立的充分条件是a²-b²=1,该条件是否是必要条件？证明你的结论.

证明：该条件是必要条件.

当a²-b²=1即a²=b²+1时，

a⁴-b⁴=(b²+1)²-b⁴=2b²+1.

∴a⁴-b⁴=1+2b²成立的充分条件是a²-b²=1又a⁴-b⁴=1+2b²,故a⁴=(b²+1)².

∴a²=b²+1，即a²-b²=1故该条件是必要条件.

11.设x、y∈R,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明：充分性：如果xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0.

当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?；

当x<0,y<0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.

必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)²=(|x|+|y|)²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,|xy|=xy,∴xy≥0.

解法二：|x+y|=|x|+|y|(x+y)²=(|x|+|y|)²x²+y²+2xy=x²+y²+2|xy|xy=|xy|xy≥0.

10.给出下列各组p与q:

(1)p:x²+x-2=0,q:x=-2;

(2)p:x=5,q:x>-3;

(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行；

(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;

(5)p:x∈M,且x∈P,q:x∈M∪P(P,M≠).

其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.

答案：(2)(5)

解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件；(2)(5)满足题意.

9.已知p:|x+1|>2和q:>0,则p是q的__________________.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分又不必要?条件”)

答案：充分不必要

解析：∵p:x<-3或x>1,

q:x<-4或x>1,

∴p:-3≤x≤1, q:-4≤x≤1.

∴p是q的充分不必要条件.

8.方程3x²-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是______________.

答案：0<k<

解析：其充要条件为0<k<.

7.已知抛物线y=ax²+bx+c(a>0,b,c∈R)则“关于x的不等式ax²+bx+c<x有实数解”是“此抛物线顶点在直线y=x下方”的(　　 )

A.充分不必要条件　 　　　　　　　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　　 D.既不充分又不必要条件

答案：B

解析：ax²+bx+c<x有实数解(b-1)²-4ac>0,顶点(-)在直线y=x下方-(b-1)²>4ac+1,故选B.

6.(2010全国大联考，2)不等式1<x<成立是不等式(x-1)tanx>0成立的(　　 )

A.充分而不必要条件　　　　　　　　　　　 B.必要而不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　　 D.?即不充分也不必要条件

答案：A

解析：当1<x<时，x-1>0,tanx>0,?即tan(x-1)tanx>0,但当x=时，(x-1)tanx=(-1)×1>0,而(1,),故选A.