25. (本题满分12分)

(1) 证明：∵ CD⊥AB　　　　　　　　　 …… 1分

∴∠ABC＝90°　　　　　　　　　　　　 …… 2分

∴ AC是⊙O₁的直径　　　　　　　　　 …… 3分

　(2)

① 证明1：∵ CD⊥AB　　　 ∴∠ABD＝90°

∴ AD是⊙O₂的直径　　　　　 　　　　　　　　…… 4分

∵ AC＝AD

∵　 CD⊥AB　 ∴CB＝BD　　　　　　　　　　 …… 5分

∵ O₁、O₂分别是AC、AD的中点

∴ O₁O₂∥CD且 O₁O₂＝CD＝CB　　　　　　　　 …… 6分

∴　 四边形O₁C BO₂是平行四边形　　　　　　　　 …… 7分

证明2：∵ CD⊥AB　　　 ∴∠ABD＝90°

∴ AD是⊙O₂的直径　　　　　　　　　　　　　 …… 4分

∵ AC＝AD

∵ CD⊥AB　 ∴CB＝BD　　　　　　　　　　　　 …… 5分

∵　 B、O₂分别是CD、AD的中点

∴　 BO₂∥AC且 BO₂＝AC＝O₁C　　　　　　　　 …… 6分　

∴　 四边形O₁C BO₂是平行四边形　　　　　　　　 …… 7分

证明3：∵ CD⊥AB　　　 ∴∠ABD＝90°

∴ AD是⊙O₂的直径　　　　　　　　　　　　　 …… 4分

∵ O₁、O₂分别是AC、AD的中点

∴ O₁O₂∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 5分

∵ CD⊥AB　 ∴ CB＝BD　　　　　　　　　　　

∴ B是CD的中点

∴O₂B∥O₁C　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 6分

∴四边形O₁C BO₂是平行四边形　　　　　　　　　 …… 7分

证明4：∵ CD⊥AB　　　 ∴∠ABD＝90°

∴ AD是⊙O₂的直径　　　　　　　　　 　　　　　…… 4分

∵ AC＝AD　

∴ O₁C＝O₂B　 　　

　∴ ∠C＝∠D　　 ------------------------------------------------ 5分

∵ O₂B＝O₂D　

∴∠O₂B D＝∠D　　　　　　　　　　　　　　　　 ……∴∠C＝∠O₂B D　　　　　　　　　　　　　　　

∴O₂B∥O₁C　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 6分

∴四边形O₁C BO₂是平行四边形　　　　　　　　　 …… 7分

② AE　 ＞　　 AB　　　　　　　　　　　　　　　 …… 8分

证明1：当点E在劣弧︵MC上(不与点C重合)时，

∵　 AC＝AD　

∴　 ∠ACD＝∠ADC

∴　 ∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝∠AFB

∴　 AE＝AF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 9分

记AF交BD为G　 ∵　 AB⊥CD

∴ AF＞AG＞AB　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　…… 10分

当点E与点C重合时，AE＝AC＞AB

当点E在劣弧︵CB上 (不与点B重合) 时，设AE交CD与H，

AE＞AH＞AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 …… 11分

综上，AE＞AB.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 …… 12分

证明2：当点E在劣弧︵MC上(不与点C重合)时，

连结EC、DF ，∵ AD是⊙O₂的直径，即∠AFD＝90°

∠EAC＝∠EBC＝∠DBF＝∠DAF

∵ AC＝AD　 直角△AFD≌直角△AEC

∴ AE＝AF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　…… 9分

证明3：当点E在劣弧︵MC上(不与点C重合)时，

连结EC、DF ，∵ AD是⊙O₂的直径，即∠AFD＝90°

∵ ∠DBF＝∠DAF　 ∴∠ADF+∠DBF＝90°

又∵ ∠DBF＝∠EBC　　 ∠ABE+∠EBC＝90°

∴ ∠ADF＝∠ABE

∵ ∠ABE＝∠ACE　　 ∴∠ADF＝∠ACE

∵　 AC＝AD　 ∴ 直角△AFD≌直角△AEC

∴　 AE＝AF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 9分

24(2005广东茂名课改实验区)(本小题10分)

如图，已知直线L与◎○相切于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连接OP交◎○于点C，连接BC并延长BC交直线L于点D，　　　　

(1)　　　 若AP=4， 求线段PC的长(4分)

(2)　　　 若ΔPAO与ΔBAD相似，求∠APO

的度数和四边形OADC的面积(答

案要求保留根号)(6分)

解：24、解：(1)◎○相切于点A，　　

……………1分

………2分

………………3分

………4分

　　　 (2)PAO∽ΔBAD,且∠1>∠2，∠4=∠4=90⁰

　　　　　　　　　 ………………………………………………5分

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　 ……………………………6分

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　 ………………………………7分

　　　　　　　　　 在RtΔBAD中，

　　　　　　　　　 …………………8分

　　　　 方法一：过点O作OE⊥BC于点E，

　 　　　　　　　　

　　　　　　　　 ………………………………9分

　　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　　　 =……………………………10分

　　　　 方法二：在RtΔOAP中，AP=6tan60⁰=3,OP=2OA=6,

　　　　　　　　 DP=AP－AD=3

　　　　　　　　 过点C作CF⊥AP于F，∠CPF=30⁰, CF=………9分

　　　　　　　 S_{四边形OADC}=S_ΔOAP－S_ΔCDP

　　　　　　　　　　　　　 =AP·OA－DP·CF

　　　　　　　　　　　　　 =(

　　　　　　　　　　　　　 =…………………10分

(2005江苏省课改实验区)如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=25°，求∠A PB的度数．

25.(2005福建厦门课改实验区)　 (本题满分12分)　 已知：⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C、D.

　 (1)如图8，求证：AC是⊙O₁的直径；

　 (2)若AC＝AD，

① 如图9，连结BO₂、O₁ O₂，求证：四边形O₁C BO₂是平行四边形；

　　 ② 若点O₁在⊙O₂外，延长O₂O₁交⊙O₁于点M，在劣弧︵MB上任取一点E(点E与点B不重合). EB的延长线交优弧︵BDA于点F，如图10所示. 连结 AE、AF.

则AE　 　　AB(请在横线上填上 “≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个)并加以证明.

(友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上)

　

22．(2005恩施自治州课改实验区)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图(1)所示：

∵∠AOC是⊿ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

又∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA　 ∴∠AOC=2∠ABO

即∠ABC=∠AOC

如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、(3),那么结论会怎样?请你说明理由.

　

2．小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：

①反向延长射线OM；

②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C； ③连接CB； ④以O为顶点，OA为一边作∠AOP＝∠OCB．

(1)根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由

(2)若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON＝60°、OF＝10时，求AE的长．

20-1．解：(1)(方法1)连接DO.∵OD是△ABC的中位线， ∴DO∥CA.∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO　 ∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠ACB，　 ∴AB＝AC

(方法2)连接AD，　 ∵AB是⊙O的直径，∴AO⊥BC，

∵BD＝CD，∴AB＝AC.

(方法3)连接DO.∵OD是△ABC的中位线，∴OD=AC

OB=OD=AB　　 ∴AB=AC　

(2) 连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

　∴∠B＜∠ACB＝90°.∠C＜∠ACB＝90°.∴∠B、∠C为锐角.

∵AC和⊙O交于点F，连接BF，

∴∠A＜∠BFC＝90°.∴△ABC为锐角三角形

20－2. 解：(1)(方法一)∵∠AOF＝∠OCB， 又∵∠BOA＝2∠OCB，

∴∠AOF＝∠BOF∴OP为∠BOA的角平分线

(方法二)∵∠AOF＝∠OCB，∴PO∥BC ，∴∠POB＝∠OBC，又∵OB=OC，

∴∠OCB＝∠OBC，∴∠AOF＝∠POB，∴OE为∠BOD的角平分线

(2)(方法一)∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AO，

∵∠MON＝60°，∴∠AOF＝∠MON＝30°，∴AF＝OF＝5，由勾股定理得：AO＝5. ∵AO＝BO，∴△AOB是等腰三角形，∵OP平分∠AOB，∴PO⊥AB，

在Rt△AOF中，S_⊿AOF＝AO×AF＝FO×AE，即：5×5＝10×AE，

∴AE＝.

(方法二)∵∠MON＝60°，∴⊿AOB为正三角形，∵OP平分∠MON，

∴AE＝BE＝AB，　 ∵OP平分∠BOD，∴∠BOF＝30°，又∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AO

在Rt⊿AOF中，AO＝5，　 ∴AB＝AO＝5，∴AE＝

20、20-1(2005宜昌课该实验区).如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点F.

(1)AB与AC的大小有什么关系?为什么?

(2)按角的大小分类, 请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由.

25. (2004青海湟中实验区)(本题满分8分)如图(5)，在⊙O中，AB是直径，半径为R，

求：(1)∠AOC的度数.

(2)若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时，D点的位置.

答案： (1)∠AOC=60° (2)D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点其中一条.

27、(济南课改实验区)(本题9分)如图⑴，已知⊙O是等边△ABC的外接圆，过点O作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN＝a。另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动(不与点M、N重合)，并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q。

①试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；

②设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探索y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置；

③如图⑵，当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？

　

23(2004广西南宁实验区)如图8，已知⊙O半径为8cm，点A为半径OB延长线上一点，射线AC切⊙O于点)C，BC弧的长为209πcm，求线段AB的长(精确到0.01cm).

24、(2005四川课改实验区)如图，P是⊙O的半径OA上的一点，D在⊙O上，且PD＝PO．过点D作⊙O的切线交OA的延长线于点C，延长DP交⊙O于K，连接KO，OD．

(1)证明：PC＝PD；

(2)若该圆半径为5，CD∥KO，请求出OC的长．

21.(2005宁夏课改实验区)　

已知: 在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB、CD相交于点E，连结AD、BD.

(1) 写出图中3对相似的三角形;

(2) 找出图中相等的线段，并说出理由.

29．(1)∴点C的坐标是(O，2)．

根据A(-1，0)、B(4，0)，

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4)．

y=　 x²++2．

(2)弧AC=弧CE．

(3)不存在符合要求的直线．理由是：连结BE．设AD=x，

在Rt△AOD中，AD²=OA²+OD²，

解得x=5/4

∵△AOD∽△AEB，

OM=2．

∴点M的坐标为(-2，0)．设过点M的直线对应函数的解析式为y=kx+b．

把点M(-2，0)代入，得b=2k_ ∴y=kx+2k．　　 ①

由题意知，方程②的两个根互为相反数，k=3/2．这时方程②无实数根，不存在符合要求的直线．