19.★(本小题满分10分)若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的,如果某地成年男子的身高ξ~N(175,62)(单位：cm),则该地公共汽车门的高度应设计为多高？(下列数据供计算时使用:Φ(2.33)≈0.99,Φ(2.06)≈0.98)

分析 本题考查正态分布在现实生活中的应用.它是一道已知正态分布函数的值域,而求其自变量范围的题目.解题的关键是找出正确的函数表达式,运用标准正态分布表,求变量的范围.

解 设该地公共汽车门的高度应设计为x cm,

则根据题意可知P(ξ≥x)＜1%.        3分

Eξ=2×+3×+4×+5×=.           10分

8分

P(ξ=5)=()³()²=.         7分

则ξ的分布列为

ξ

2

3

4

5

P

P(ξ=4)=()²()²=;

P(ξ=3)=? ()²=;

(2)P(ξ=2)=()²=;