例2、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0；(2)求f(16)；(3)试证f(xⁿ)=nf(x)，n∈N*.

思维分析：这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件，可以将对数函数y=log₄x作为该函数的原型，从而找到问题的解决思路与方法

例1、解关于x的对数不等式；

2 log_a (x－4)>log_a(x－2).

思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a的取值范围不确定，故应进行分类讨论。

例4:若方程的所有解都大于1，求的取值范围。

分析：由对数函数的性质，方程可变形为关于的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论。

思维点拔：

(1)有关对数方程解的情况讨论，通常是利用换元法，将方程转化为一元一次或一元二次方程解的讨论；如果是方程解的个数问题，又可以用函数的图象求解，如求方程的实根的个数。

(2)换元后必须保证新变量与所替换的量的取值范围的一致性。

追踪训练二

1．　 已知方程

(1)若方程有且只有一个根，求的取值范围 ．

(2)若方程无实数根，求的取值范围 ．

3.画出函数与的图象，并指出这两个函数图象之间的关系。

[选修延伸]

例4: 已知，比较，的大小。

[分析]：由条件可得：

；

所以，，则。

[变式]：已知，则，的大小又如何？

[解]∵，

　 ∴，

当，时，得，

∴， ∴．

当，时，得，

∴， ∴．

当，时，得，，

∴，， ∴．

综上所述，，的大小关系为或或

思维点拔：

对于不同底的对数式，一般的方法是转化为同底的对数式，然后再利用对数函数的单调性求解，此类题目也可以用对数函数的图象的分布特征求解。数形结合是解决函数问题的重要思想方法。

追踪训练二

1比较下列各组值的大小．

　，，

2.解下列不等式：

(1)　　 (2)

1. 比较下列各组值的大小：

(1)，；　　　　

(2)，，；

4.说明：上述变换称为平移变换。

[精典范例]

例1：说明下列函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：

(1)； (2)；　

(3) ；(4)

分析：由函数式出发分析它与的关系，再由的图象作出相应函数的图象。

[解](1)

图象(略)

由图象知：单调增区间为，单调减区间为。

(2)

由图象知：单调增区间为，单调减区间为。

(3)

由图象知：单调减区间为。

(4)

由图象知：单调减区间为。

点评:

(1)上述变换称为对称变换。一般地：

①；

②；

③；

④

(2)练习：怎样由对数函数的图像得到下列函数的图像？

(1)；

(2)；

答案：(1)由的图象先向2左平移1个单位，保留上方部分的图象，并把轴下方部分的图象翻折上去得到

的图象。

(2)的图象是关于轴对称的图象。

例2：求下列函数的定义域、值域：

(1)； (2)； (3)(且)．

分析：这是复合函数的值域问题，复合函数的值域的求法是在定义域的基础上，利用函数的单调性，由内而外，逐层求解。

点评: 求复合函数的值域一定要注意定义域。

例3：设f (x)＝lg(ax²－2x+a),

　 (1) 如果f (x)的定义域是(－∞, +∞)，求a的取值范围；

　 (2) 如果f (x)的值域是(－∞, +∞)，求a的取值范围．

追踪训练一

3. 函数()的图象是由函数的图象当时先向左平移 b个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向右平移| b|个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向左平移 b个单位，再向下平移|c |个单位得到; 当时先向右平移| b|个　 单位，再向下平移|c| 个单位得到。

2. 函数的图象是由函数的图象　　　　　　　　 得到。

1．函数的图象是由函数

的图象