3. 是奇函数，它在区间(其中)上为增函数，则它在区间上(D)

　　 A. 是减函数且有最大值

　　 B. 是减函数且有最小值

　　 C. 是增函数且有最小值

　　 D. 是增函数且有最大值

4已知函数ax⁷+6x⁵+cx³+dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)= 　　31　 ．

2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)<f(b)等价于(　 C　 )

A.a<b　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a>b　　　　　　

C.|a|<|b|　　　　　　　　　　　　 D.0≤a<b或a>b≥0

　　若函数是偶函数，则该函数在关于＂0＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂0＂对称区间上的点调性是相同的．

追踪训练

1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是　 　　　　　 (C)

　 4　　 2　 0　　 不能确定

3. 　函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。

解：定义域是

即

　　 又

　　 是奇函数

　　 在上是增函数

即

　　 解之得　

　　 故a的取值范围是

思维点拔：

2. 定义在上的奇函数，则常数　 0　　 ，　　 0　　 ；

例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．

解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x－2|

所以f(－x)= －x|－x－2|=－x|x+2|

又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x)

所以－f(x)= －x|x+2|

所以f(x)=x|x+2|

故当x<0时

F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.

3：定义在(－2，2)上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，

求实数m的取值范围．

解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0

所以f(m－1)> －f(2m－1)

因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数

所以f(m－1)>f(1－2m)

所以

所以<m<

追踪训练一

1.　　　 设是定义在R上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－)与f(a²－a+1)

()的大小关系是　 (B　 )

　　　 A． f(－)<f(a²－a+1)　　　　　　　　　　　　　

B． f(－)≥f(a²－a+1)

C． f(－)>f(a²－a+1)

　　　 D．与a的取值无关

例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论

思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x₁<x₂<0，进而判断：

F(x₁) －F(x₂)= －=符号解：任取x₁，x₂∈(－∞，0)，且x₁<x₂，则－x₁>－x₂>0

因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，

所以f(－x₂)<f(－x₁)<0，①又因为f(x)是奇函数

所以f(－x₂)= －f(x₂)，f(－x₁)=f(x₁)②

由①②得f(x₂)>f(x₁)>0

于是F(x₁) －F(x₂)= －

所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数。

[证明]

设，则，∵在上是增函数，

∴，∵是奇函数，∴，，

∴，∴，∴在上也是增函数．

说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．

5．若是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式．

解：由题意得：

则

[师生互动]

4. 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].

若当x∈[0,5]时, 　f(x)的图象如下图,则

不等式的解是　 　.

3. 设函数f(x)在(－∞，+∞)内有定义，下列函数．

①y=－| f(x)|

②y=xf(x²)

③y=－f(－x)

④y= f(x)－f(－x)

中必为奇函数的有____②④____________．(要求填写正确答案的序号)．