3.　　　 已知函数,数列满足,

; 数列满足, .求证:

(Ⅰ)

(Ⅱ)

　　 (Ⅲ)若则当n≥2时,.

分析：第(1)问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第(2)问可利用函数的单调性；第(3)问进行放缩。

解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.

　　 (1)当n=1时,由已知得结论成立;

　　 (2)假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,

　　 因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.

　　 又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.

　　 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.

　　 又由, 得,从而.

　　 综上可知

　　 (Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

　　 由,知g(x)在(0,1)上增函数.

　　 又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.

因为,所以,即>0,从而

(Ⅲ) 因为 ,所以, ,

　　 所以　 ----① ,

　　 由(Ⅱ)知:,　

所以= ,

　　 因为, n≥2,

所以 <<=----② .

由①② 两式可知: .

　点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。

2.　　　 已知数列满足

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若数列满足，证明：是等差数列；

(Ⅲ)证明：

分析：本例(1)通过把递推关系式转化成等比型的数列；第(2)关键在于找出连续三项间的关系；第(3)问关键在如何放缩。

解：(1)，

故数列是首项为2，公比为2的等比数列。

，

(2)，

①

②

②-①得，即③

④

④-③得，即

所以数列是等差数列

(3)

设，

则

　点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。

1.　　　 已知为锐角，且，

函数，数列{a_n}的首项.

　　 ⑴ 求函数的表达式；

　　 ⑵ 求证：；

⑶ 求证：

分析：本题是借助函数给出递推关系，第(2)问的不等式利用了函数的性质，第(3)问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。

解：⑴　　 又∵为锐角

　　　　　　 ∴　　 ∴　　 　　

　　　 ⑵ 　　　∵　　 ∴都大于0

　　　　　 　∴　　　 ∴　　　　

　　　 ⑶　 　

∴　　　　　　

　　　　　　 ∴

∵, 　,

　又∵

　　　　　　 ∴　　　　　　 ∴

　　　　　　 ∴

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第(3)问不等式的证明更具有一般性。

18。解：(1)依题意得

　　 当时…①

　　 当时，适合①式，所以，…5分

　　 (2)由(1)得知

　　 故…9分

　　 因此，使成立的，必须且仅须满足，

　　 即，　　 所以满足要求的最小正整数为10。

16。　 解：(1)由 依题意

　 (2)由(1)知

　 (3)

17　 解(Ⅰ)时，，由已知，得，

因为为正整数，所以，同理

(Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想：。

证明：①时，命题成立；

②假设当与时成立，即，。

于是，整理得：，

由归纳假设得：，

因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。

综上：由知①②知对于，有成立．

(Ⅲ)证明：由 　　　　　③

　　　 得 　　　　　④

③式减④式得 　　　⑤

　　　　　　 　⑥

⑤式减⑥式得

则 　．

14。　　　 15．

11。　 1232　　　 12。100． 5000；　　 13。2236　　　

18、设数列{}的前n项和为,点

的图象上。

(1)求数列{}的通项公式；

(2)设对所有都成立的最小正整数m.

　　　　 数列8答案

B D D B C　　 A CA A C

17、设正整数数列满足：，当时，有．

(I) 求、的值；

(Ⅱ)求数列的通项；

(Ⅲ) 记，证明，对任意， .

16、已知数列{a_n}、{b_n}满足：。

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列{a_n}的通项a_n；

(3)设，若对于nÎN^*恒成立，试求实数a的取值范围。