5.　 设是数列的前项和，对任意N总有，N 且．

(Ⅰ)求数列 的通项公式；

(Ⅱ)试比较与的大小；

(Ⅲ)当时，试比较与的大小．

解：(Ⅰ)当时，，.　　　　　　 ……1分

,　　　 ①

.　　 ②

②-①得，

．

．　　　　　　　　　　 ……3分

数列是首项为，公比为的等比数列．　　　　　　　　

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得．　 ……5分

令， 则 ，．

　　　　　 ……7分

　　　　　　　　　　 .

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分(Ⅲ)当时，， ，

,．

．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

0<．

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……13分

．

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

命题意图：本题主要考查数列的概念和不等式等知识，考查综合运用数学知识分析和解决问题能力.

4．在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0．椭圆与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．

　 (1)求圆C的方程；　 (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

[解析](1)设圆的方程为………………………2分

　 依题意,,…………5分

　 解得,故所求圆的方程为……………………7分

　 (注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!)

　 (2)由椭圆的第一定义可得,故椭圆方程为,焦点……9分

　 设,依题意, …………………11分

　 解得或(舍去) ……………………13分　 存在……14分

命题意图：近几年的高考试题中常会出现存在性问题，让学生探究，提高学生的综合能力。

3．如图(1)是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题。

(Ⅰ)求证：MN∥平面PBD；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求PB和平面NMB所成的角的大小．

解：MN和PB的位置如右图示：(正确标出给1分)

(Ⅰ)∵ND∥MB 且ND＝MB

∴四边形NDBM为平行四边形

∴MN∥DB------------------------------------------3分

∵平面PDB,平面PDB

∴MN∥平面PBD--------------------------4分

(Ⅱ)∵平面ABCD，平面，∴-------------5分

又∵　 ∴平面,　　　 ---------------------6分

面 ∴,同理可得,∵

∴面PDB　　　　 -------------------------------------8分

(Ⅲ)连结PQ交MN于点E,

∵,

∴平面

连结BE,则为PB和平面NMB所成的角---------12分

在直角三角形PEB中

∵　　　 ∴=30°

即PB和平面NMB所成的角为30°.--------------------------------------14分

命题意图：近几年文科考生对立体几何的考查要求降低了，但对传统证明方法的考查加强，对探究性问题更为重视。

2．已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且．

(Ⅰ)求角的大小； 　　　　　

(Ⅱ)若，求的值．

(Ⅰ)解：由余弦定理，得＝．　　　　　　　　 ……2分

∵，∴ ．　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　……4分

(Ⅱ)解法一：将代入，得．　　　　　 ……6分

由余弦定理，得．　　　　　　　　　　　　 ……8分

∵，∴．　　　　　　　　　　　 ……10分

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

解法二：将代入，得．　　　　　　　　 ……6分

由正弦定理，得．　 　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

又，则，∴．

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

解法三：∵，

由正弦定理，得．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

∵，∴．

∴．　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　……8分

∴．

∴．

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

考查意图：本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识，考查运算求解能力

1．已知向量在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围.

解：　 　　　　　　(2分)

　　　 f´(x)=-3x²+2x+t,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

　　　 若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上f´(x)≥0　　　 (5分)

的图象是开口向下的抛物线，

∴当且仅当 即t≥5时满足条件　　　　　 (10分)

所以若f(x)在(-1，1)上是增函数，则t的取值范围是[5，+∞)。 (12分)

命题意图：这道题主要涉及了向量、函数、二次函数等有关性质，是对学生基础知识的考查。

6、电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种方案这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(MN//CD).

　 　 (1)若通话时间为250分钟，按方案A、B各付话费多少元？

　 (2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

　 (3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？

解：由图知M(225，38)，C(500，68)，N(500，148)

设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为、，

则

　 (1)通话时间为250分钟时，方案A、B的费和分别为(元)，68元.

　 (2)由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.4元.

　 (3)由图知：当

当时，当即

则，故当时，方案B较优惠。

选题意图：本题是一道模拟原题，考查了学生读图解图能力，会由函数图象写出分段函数表达式，并用数学知识解决实际问题，是很好的一道题，若要修改，也可以是把其中一个图象换成抛物线。

5、如图，在直角梯形中，，，，椭圆以、为焦点且经过点．(1)建立适当的直角坐标系，求椭圆E的方程；

(2)问是否存在过C点的直线与椭圆E交于两点，且C为MN的中点,若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．

解答：以AB所在直线为轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则。

|

所以椭圆E的焦点为即，有椭圆E经过点D，

所以，所以椭圆E的方程为。

(2)存在，设交点，因为点C是MN的中点。所以，且，两式相减得

得出斜率，所以直线的方程为

命题意图：本题是由一道模拟题，改变了第2问，考查了平面建系的思想，椭圆的定义，直线和圆锥曲线中点弦相关知识。

4、设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数在上是单调递增；③直线是函数图象上的一条切线。”．试判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

解答：，通过画两函数图象可知它们有交点，且交点的横坐标。所以方程有实数根，满足条件①；

令。

所以在)上是增函数。故在上是单调递增，满足条件②；

若直线是函数图象上的一条切线，则切线的斜率，

设切点A()，则有解得，即，

所以切点A(1，1)，切线方程为，满足条件③。所以函数是集合M中的元素。

命题意图：本题是由一道模拟题改编，考查函数与方程、函数的图象、函数与导数及相关的性质。

3、如图，四棱锥中，底面，，，=2，CD=1，是的中点．(1)求棱锥P-ABCD的体积；

(2)求证：；

解答：，是正三角形，AC=2

所以底面四边形ABCD的面积为

所以

，另，即，

由。

命题意图：考查四棱锥的体积运算，线线垂直、线面垂直等基础的几何知识。

2、等差数列满足，()，是常数．

(1)求出和它的通项公式；

(2)若 ，求证：。

解答：当，当

因为数列是等差数列，所以

即，所以，

所以。，即数列{是等比数列，首项和公比都是。所以。

命题意图：本题也是一道高考修改题。考查等差数列、等比数列的重要元素、通项公式、求和公式及方程思想。