2、某矿泉水标签上印有水质成分如下(mg/L)： 硒：0.013；锶：0.0596；锌：0.00162；钠：18.4；钙：4.69。这里的硒、锶、锌、钠、钙是指(　)

　　 A．金属　　　　　　　　　　　 　B．分子　

　 　C．原子　　　　　　　　　　　 　D．元素

1、下列各图所示变化属于物理变化的是　　　　　　　　　　 (　　 )

例4　 (2007年高考全国卷Ⅱ理科22题)已知函数f (x)＝x³－x．

(Ⅰ)求曲线y＝f (x)在点M(t，f (t))处的切线方程；

(Ⅱ)设a＞0，如果过点(a，b)可作曲线y＝f (x)的三条切线，证明：－a＜b＜f (a)．

分析　 (Ⅰ)问比较简单，f ¢(x₀)的几何意义是曲线f(x)在点(x₀，f (x₀))处的切线的斜率，利用这一几何意义就可以求切线方程．(Ⅱ)问中条件“过点可作曲线y＝f (x)的三条切线”，可转化为该点代入切线方程后所得方程有三个相异的实根，而研究根的个数仍然需要借助导数．

解　 (Ⅰ)求函数f (x)的导数：f ¢(x)＝3x²－1．

曲线y＝f (x)在点M(t，f (t))处的切线方程为：y－f (t)＝f ¢(t)(x－t)，

即y＝(3t²－1)x－2t³．

(Ⅱ)如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b＝(3t²－1)a－2t³．

于是，若过点(a，b)可作曲线y＝f (x)的三条切线，则方程2t³－3at²+a+b＝0有三个相异的实数根．

记g(t)＝ 2t³－3at²+a+b，则g¢(t)＝6t²－6at＝6t(t－a)．

当t变化时，g(t)，g¢(t)变化情况如下表：

由g(t)的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b－f (a)＞0时，方程g(t)＝0最多有一个实数根；

当a+b＝0时，解方程g(t)＝0得，即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根；

当b－f (a)＝0时，解方程g(t)＝0得，即方程g(t)＝0只有两个相异的实数根．

综上，如果过(a，b)可作曲线y＝f (x)三条切线，即g(t)＝0有三个相异的实数根，则即－a＜b＜f (a)．

点评　 利用导数研究一个三次方程f (x)＝0根的个数问题是一类常见的题型，它可以看成是函数f (x)的图像与x轴的交点个数问题，因此与函数的极值有关．

由此可见，我们常常利用导数判断函数的单调性、求极值、求最值、求取值范围、证明不等式、求切线方程、判断方程根的个数，而这七个应用我们通过上面四个典型例题就可以学到．

例3　 (2007年高考安徽卷理科18题)设a≥0，f (x)＝x－1－ln² x+2aln x(x＞0)．

(Ⅰ)令F(x)＝x f ¢(x)，讨论F(x)在(0，+¥)内的单调性并求极值；

(Ⅱ)求证：当x＞1时，恒有x＞ln² x－2aln x+1．

分析　 利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式是近年来高考中的常考题型，解题时有一套完整的流程，我们必须十分熟练．

(Ⅰ)解　 根据求导法则有，

故F(x)＝x f ¢(x)＝x－2ln x+2a(x＞0)，于是，

列表如下：

故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，+¥)内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F(2)＝2－2ln2+2a．

(Ⅱ)证明　 由a≥0知，F(x)的极小值F(2)＝2－2ln2+2a＞0．

于是由上表知，对一切x∈(0，+¥)，恒有F(x)＝x f ¢(x)＞0．

从而当x＞0时，恒有f ¢(x)＞0，故f (x)在(0，+¥)内单调增加．

所以当x＞1时，f (x)＞f (1)＝0，即x－1－ln² x+2aln x＞0．

故当x＞1时，恒有x＞ln² x－2aln x+1．

点评　 本题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．需要注意的是(Ⅱ)问中的不等式经移项后不必构造新的函数，因为这就是已知函数f (x)，并且f (x)的单调性也不用再求导研究，因为可以利用(Ⅰ)问中F(x)的单调性和极小值就可以找到f ¢(x)＞0，从而得出f (x)的单调性．

例2　 (2007年高考全国卷Ⅰ理科20题)设函数．

(Ⅰ)证明：f (x)的导数f ¢(x)≥2；

(Ⅱ)若对所有x≥0都有f (x)≥ax，求a的取值范围．

分析　 本题(Ⅰ)比较简单，用均值不等式可一步到位；(Ⅱ)需要先把不等式移项之后，构造新的函数，通过对新函数求导来研究其单调性从而确定参数的范围．

(Ⅰ)证明　 f (x)的导数．

由于，故f ¢(x)≥2．(当且仅当x＝0时，等号成立．)

(Ⅱ)解　 令g(x)＝f (x)－ax，则g¢(x)＝f ¢(x)－a＝．

(ⅰ)若a≤2，当x＞0时，，

故g(x)在(0，+¥)上为增函数．

所以，对x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f (x)≥ax．

(ⅱ)若a＞2，方程g¢(x)＝0的正根为，

此时，若x∈(0，x₁)，则g¢(x)＜0，故g(x)在该区间为减函数．

所以，x∈(0，x₁)时，g(x)＜g(0)＝0，即f (x)＜ax，与题设f (x)≥ax相矛盾．

综上，满足条件的a的取值范围是(－¥，2]．

点评　 需要提醒大家的是，初步得出a的取值范围为a≤2还不完整，还需继续说明当a不在此范围内时，即当a＞2时为什么不行，等找到矛盾后才能彻底说明范围a≤2是原条件的充要条件．

例1某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为 (12－x)²万件．

(Ⅰ)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；

(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．

分析　 本题列出利润函数的关系式并不难，但由于函数是三次的，所以要求出最大的利润还需借助导数知识．

解　 (Ⅰ)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为

L(x)＝(x－3－a)(12－x)²，x∈[9，11]．

(Ⅱ)L¢(x)＝(12－x)²－2(x－3－a)(12－x)

　　　　　　　 　 ＝(12－x)(18+2a－3x)．

令L¢(x)＝0得，或x＝12(不合题意，舍去)．

∵3≤a≤5，∴8≤≤．

(1)当8≤＜9即3≤a＜时，在[9，11]上L¢(x)＜0，L(x)为减函数，

所以L_max＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)²＝9(6－a)．

(2)当9≤≤即≤a≤5时，在两侧L¢的值由正变负，L(x)由增函数变减函数，

所以．

综上所述，最大利润

答：若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，且最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，且最大值(万元)．

点评　 本题考查了函数、导数及其应用等知识，考查了运用数学知识分析和解决实际问题的能力，还体现了分类讨论的思想方法．

7、已知数列与圆和圆,若圆与圆交于两点且这两点平分圆的周长.

(1)求证:数列是等差数列;(2)若,则当圆的半径最小时,求出圆的方程.

6、已知⊙由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ，切点为

Q，且满足

(1)求实数a,b间满足的等量关系；　　　

(2)求线段PQ长的最小值；

(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程。

5、 已知两点，点是圆上任意一点，则面积的最小值是　　　　

4、 已知圆和直线交于A,B两点,O是坐标原点, 若，则　　　　 .