3.设平面内有，且表示这个平面内的动点，指出属于集合

的点是什么.

2．解：(1)由，得点到线段的两个端点的距离相等，

　　　　　 即表示的点组成线段的垂直平分线；

　　　 (2)表示的点组成以定点为圆心，半径为的圆．

2．设表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？

(1)；

(2).

1．解：(1)方程的解为，即集合；

　　 (2)，且，则，即集合；

(3)方程的解为，即集合．

1．用列举法表示下列集合：

(1)；

(2)；

(3).

5.解决直线与二次曲线相交弦的问题，常“设而不求”，即将直线方程与二次曲线方程联立方程组，利用代入消元法转化为关于x(或y)的一元二次方程，将题中所给的几何量用韦达定理、△刻划出来；如：弦长|AB|==，(其中k为直线AB的斜率)，或|AB|==。涉及斜率及其弦中点的问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标分别代入二次曲线方程作差，此后略作变化(分离出弦的斜率)，即可得到弦的斜率与弦中点的横纵坐标之间的关系。

[举例1] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足(如图所示)．则得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程为　　　　 ；

解析：显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b,(b≠0), A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),将直线方程代入y=x²得：x²-kx-b=0,则有：⊿=k²+4b>0 　①,x₁+x₂=k 　②, x₁x₂= -b 　③，又y₁=x₁²，y₂=x₂²

∴y₁y₂=b²；而 x₁x₂+ y₁y₂=0，得：-b+ b²=0且b≠0，∴b=1，代入①验证，满足；故y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2=k²+2；设△AOB的重心为G(x,y)，则x==　　　 ④,

y==　 　⑤,由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为。

注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。

[举例2]过椭圆的右焦点F₂并垂直于x轴

的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的两点A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差

数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是　　 。

解析：对|F₂A|+|F₂C|=使用焦半径公式得：5-x₁+5-x₂=x₁+x₂=8.此后，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记AC中点M(4，y₀), 将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差得：

，∴,于是有：AC的中垂线的方程为：

，当x=0时：=-，此即AC的中垂线在y轴上的截距，注意到：M(4，y₀)在椭圆“内”，∴，得-<<,∴-<-<。

[巩固1]已知抛物线y²=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则y₁²+y₂²的最小值是　　　　　 .

[巩固2]过抛物线上一定点P()()作两条直线分别交抛物线于A()，B()，若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，则=　　　 　。

4．直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究。直线与曲线有几个公共点，方程组就有几组解；直线与圆锥曲线相切体现为：在解方程组的过程中，“消元”后得到的一元二次方程有两个相等的实根，即⊿=0；抛物线的切线还可以用导数研究(视抛物线方程为二次函数)。

[举例1]设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是：(　　 )

A．[-，]　　 B．[－2，2]　 C．[－1，1]　 D．[－4，4]

解析：Q(-2，0)，显然直线 斜率存在，记为k，则的方程为：y=k(x+2),代入抛物线方程得：k²x²+4(k²-2)x+4k²=0,①当k=0时，方程有解；②当k≠0时，⊿=64(1-k²)≥0即

-1≤k<0或0<k≤,故选C。

[举例2]如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则△APB的重心G的轨迹方程为　　　　　　 .

解析：设切点A、B坐标分别为，

∵y^/=2x，∴两切线斜率分别为：2x₀和2x₁,

于是：切线AP的方程为：

　 切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

∴，结合=代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：

注：上述求轨迹的方法称为“代入法”，问题的基本结构是：动点N在已知曲线C₀上移动，动点M随之移动(伴随点)，求动点M的轨迹方程；一般解法是：寻找被动点M的坐标 (x,y)与主动点N的坐标(x₀,y₀)之间的关系，并用x,y表示x₀,y₀，再代入曲线C₀的方程即可；此法为“参数法”的一种，借助M、N两点坐标之间的关系及曲线C₀的方程消去两个参数x₀,y₀。

[巩固1] 已知直线与抛物线相切，则

[巩固2]对于抛物线C：y²＝4x，我们称满足y₀²＜4x₀的点M(x₀，y₀)在抛物线的内部.若点M(x₀，y₀)在抛物线内部，则直线l：y₀y=2(x+ x₀)与曲线C　　　　

A.恰有一个公共点　　　　　　　　　　　　　　　 B.恰有2个公共点

C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点　　　　 D.没有公共点

[迁移]直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1的两支分别交于A、B两点，则a的取值范围是　　 。

3．过抛物线y²=2px的焦点直线与抛物线y²=2px交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点，记住并会证明：，，|AB|=(其中为弦AB的倾角，=90⁰时的弦AB即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可设直线方程为：x=my+(其中m为AB的斜率的倒数)；抛物线焦点弦问题常用定义，如：以焦点弦为直径的圆与准线相切。

[举例1]抛物线y²=2px上弦长为a(a≥2p)的弦的中点到y轴的距离的最小值为：　　　 。

解析：抛物线的准线的方程为：x= -,焦点F(，0)，记弦的两端点为A、B，AB的中点为M，它们在上的射影分别是A₁，B₁，M₁；于是有：|AF|=|AA₁|，|BF|=|BB₁|，

M到y轴的距离d=|MM₁|-=(|AA₁|+|BB₁|)-=(|AF|+|BF|)-≥|AB|-

=,当且仅当A，B，F共线时等号成立。注：过焦点的弦最短是通经，长为2p，当

a<2p时，A，B，F不可能共线。

[举例2] 给定抛物线C：y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．设l的斜率为1，则与夹角为　　　　 ；

解析：抛物线的焦点为F(1,0)，直线的方程为：x=y+1；将其代入抛物线方程得：y²-4y-4=0

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则有y₁+y₂=4,y₁y₂= -4，又x₁=y₁², x₂=y₂²,∴x₁ x₂=(y₁ y₂)²=1.

=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)=x₁x₂+y₁y₂= -3.

=,∴cos<>=故与夹角为-arccos.

注：在研究形如y²=2px的抛物线与直线的有关问题时，设直线方程为x=my+b的形式，不仅可以简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论。

[巩固1]AB是抛物线的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是(　　 )

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[巩固2]过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且⊿OAB(O为坐标原点)的面积为，则m⁶+m⁴=　　　　　　

2.涉及到抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题常用定义；有时，抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。

[举例1]已知A(3，1)，抛物线上一点P(x,y)，则|PA|+y的最小值为　　　 。

解析：抛物线的准线为：y= -1，焦点F(0，1)，记P在直线y= -1上的射影为Q，

则y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见：

|PA|+|PF|≥|AF|=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：|PA|+y的最小值为2。

[举例2]已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F₁，F₂，

抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个

公共点，若=e，则e的值为：

A．　　 B．　　 C．　　 D．

解析：记抛物线的准线交x轴于M，P在上的射影

为Q，则|F₁M|=|F₁F₂|=2c，即的方程为x= -3c，|PF₂|=|PQ|，又

=e，即=e，∵F₁是椭圆的左焦点，∴|PQ|为P到椭圆左准线的距离，即

为椭圆的左准线，于是有：-3c= -e=，选A。

[巩固1] 一动圆圆心在抛物线上，过点(0 , 1)且与定直线相切，则的方程为(　 )　

A.　　　B.　　　C.　　D.

[巩固2] 椭圆C₁：的左准线为，左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线C₂的准线也为，焦点为F₂，记C₁与C₂的一个交点为P，则= (　　 )

A．　　　　　 B．1 　　　　　　C．2　　　　　　　 D．与a,b的取值有关

1．不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“”表示焦准距。

[举例1] 抛物线的准线方程为，则的值为

(A)　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)

解析：抛物线的标准方程为：，其准线方程为：y= -,∴a=，故选B。

[举例2]若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ：　　

(A)　　 　　(B)　　 　　(C)　　 　　(D)

解析：抛物线y²=2bx的焦点为F(，0)，∵F将线段F₁F₂分成5∶3的两段，

∴(+c)：(c -)=5∶3c=2be=,选D。

[巩固1]点M(5,3)到抛物线y=ax²的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是(　　 )

　(A)y=12x²　 (B)y=x²或y=-x²　 (C)y=-36x²　 (D)y=12x²或y=-36x²

[巩固2] 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　 　D．