例2. 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。

　　 错解：由正弦定理，得

　　 即

　　 。

　　 ∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。

　　 辨析：由，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。

　　 正解：同上得，∴2A＝

　　 或。

　　 ∵或。

　　 故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

　 例1. 在不等边△ABC中，a为最大边，如果，求A的取值范围。

　　 错解：∵。则

　　 ，由于cosA在(0°，180°)上为减函数

　　 且

　　 又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。

　　 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

　　 正解：由上面的解法，可得A＜90°。

　　 又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是(60°，90°)。

　 例5. 函数时单调递减，求a的取值范围。

　　 错解：∵函数时单调递减，

　　 ∴－a＝1，即a＝－1。

　　 剖析：错把函数在时单调递减理解为函数单调递减区间是(－，1]。事实上，当－a≥1时，函数在(1，－a]上也递减。“函数在某一区间单调”与“函数的单调区间”不要混淆。

　　 正确解法：函数的对称轴为x＝－a，因为函数在时单调递减，故－a≥1，即a≤－1。

　 例3. 函数的单调递增区间是(　　 )

　　 A. 　　　　　　　 B. (3，+)　　　　 C. (－，1]　　　　 D. (－，－1)

　　 错解：∵令时，t为增函数，而y＝lgt在上是增函数，

　　 ∴函数的单调增区间是[1，+)。故选A。

　　 剖析：此题除注意两个函数的单调性外，函数的定义域也不要忘记。

　　 正确解法：此函数的定义域为(－，－1)。

　　 令

　　 ∵y＝lgt在上是增函数，，而的单调增区间为(3，+)，

　　 ∴选B。

　 例4. 已知函数，如果，则实数a的取值范围是__________。

　　 错解：由题意知f(x)是奇函数且在(－1，1)上单调递增，又由，得，因此，，即或。

　　 剖析：忽略了复合函数的定义域，从而导致解题错误。

　　 正确解法：由题意知f(x)是奇函数且在(－1，1)上单调递增，又由，得

　 则，解得。

　 例2. 若，且tanα＜cotβ，则有(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　 B.

　　 C. 　　　　　　　　 D.

　　 错解：因为，所以，故选B。

　　 剖析：∵

　　 ∴。显然，不在同一单调区间，故此时不能使用函数的单调性。

　　 正确解法：∵

　　 ∴，由题意知，，又在上单调递增，故选C。

　 例1. 证明函数在R上是减函数。

　　 解：任取，且，则

　　 ∵

　　 ∴

　　 ∴函数在R上是减函数。

　　 提示：有的同学证明时，没有说明，就直接说，这个过程不能省。

　 例3. 如图4，已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　 D.

图4

　　 分析：紧紧抓住球心O，由于A、B、C每两点间的球面距离为，因此，球心角

　　 而OA＝OB＝OC＝1

　　 即O－ABC是正三棱锥

　　 ，

　　 由

　　 得

　　 ，故选B

　　 练习题：设地球的半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　　　　 D.

　 例2. 如图3，已知正三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC、△PEF都是正三角形，

　　 (1)证明平面PAB

　　 (2)求二面角P－AB－C的平面角的余弦值。

　　 (3)若点P、A、B、C在一个表面积为的球面上，求△ABC的边长。

　　 分析：(1)利用，，即可证明结论。

　　 (2)是二面角P－AB－C的平面角，

　　 (3)由(1)(2)可证P－ABC是正三棱锥，。如图3，把它的高PK延长交球面于另一点D，则PD是球的直径。

图3

　　 设PA＝x，球的半径为R，则，，

　　 在中，由，得

　　 得x＝2

　　 △ABC的边长为

　 例1. 将半径都为1的四个球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　　　　　 B.

　　 C. 　　　　　　　　　　　　　　 D.

　　 分析：设正四面体为A₁－B₁C₁D₁，它的高有最小值时，四球两两外切，并且同时内切于正四面体，两球外切时，球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和。四球心连线构成的正四面体A－BCD(如图1)与正四面体A₁－B₁C₁D₁相似，过高AH及棱AB作的一个截面(如图2)，包含其主要元素。

图1

图2

　　 由正四面体A－BCD的棱长AB＝2，求得

　　 利用，得A₁A＝3AF₁＝3，而HH₁＝1

　　 ∴正四面体A₁－B₁C₁D₁的高A₁H₁的最小值

　　 故选C

　　 点评：解决多球相切的问题，常用的方法有两种：①连球心，转化为多面体问题；②找截面，化为平面几何问题。

2. 求角、求距离

如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。

定义：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

(1)异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问题，但，，所以

(2)直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角(或补角的余角)。如图2：。

图2

(3)求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。

　 例3. (2005年高考题)如图3，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝1，直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A₁B₁的中点。

(1)求异面直线AE与BF所成的角。

(2)求平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小。

(3)求点A到平面BDF的距离。

图3

解：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3，

所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，F(1，0，1)，因为直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝，因为E(，，0)，D(0，，0)

(1)因为

所以

即异面直线AE、BF所成的角为

(2)易知平面AA₁B的一个法向量m＝(0，1，0)，设n＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，

由

所以

取

所以

(3)点A到平面BDF的距离即在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值。

所以

　 例4. 如图4，已知正四棱锥R-ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。

图4

解：以O为原点，以OR所在直线为z轴，以过O与AB垂直的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。

因为底面边长为6，高为4，所以B(2，2，0)，C(－2，2，0)，R(0，0，6)，所以Q(0，，2)，P(0，0，3)，(0，，－1)，面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，设PQ与底面ABCD所成的角为α，则。

空间向量在立体几何中的应用体现了数形结合的思想，培养了学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。目的是将空间元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，用数的规范性代替形的直观性、可操作性强，解决问题的方法具有普遍性，大大降低了立体几何对空间想象能力要求的难度。