7．(2006年湖南卷)曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是　　　　 .

6．若函数y=x³－x²－a在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是　　　 .

5．(2006年江西卷)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足,则必有(　 )

A．f(0)+f(2)<2f(1)　 B. f(0)+f(2)£2f(1)

C.　 f(0)+f(2)³2f(1)　 D. f(0)+f(2)>2f(1)

4．(2007年山东泰安)已知a>0且a≠1, f(x)＝x²－a，当x∈(－1,1)时，f(x)<恒成立，则实数a的取值范围是(　　　 )

A．　　　　　 B．　 C．　　 D．

3．(2007年广东佛山)设是函数的导函数,的图象如右图所示，则的图象最有可能的是(　　)

2．函数y=2x³-3x²-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是(　 )

　A .5 , －15　 　　　B.5 , 4 　　　　C. 5 ,－16　 　　D. －4 ,－15

1．( 2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 (　 　　)

A.(-∞,1)　 B.(0,1)　　 C.(1,+∞)　　 D. [1,+∞)

6．(2007年山东莱山一中)设是定义在上的奇函数，且函数与的图象关于直线对称，当时，为常数)

　 (1)求的解析式；

　 (2)若对区间，上的每个值，恒有成立，求的取值范围。

[能力提升]

5．已知函数，方程的一个根是6，

(1)若直线与函数和的图象的交点分别为，试求当取何值时，线段的长度取得最大值；

(2)函数的图象在点处的切线为，在点处的切线为，若、与轴的交点分别为，试求两点之间的距离的取值范围。

例6．已知函数，

(1)函数的单调区间；

(2)求函数图象在与轴交点得的切线与两坐标轴所围成的图形的面积；

(3)判断方程解的情况().

［剖析］求函数的单调区间一般可以利用函数的导数来解决，即转化解不等式和；不等式的解集即为函数的单调区间，但首先要研究函数的定义域；求曲线在某一点的切线可以利用导数的几何意义；要研究方程根的个数问题，则可以通过函数图象与轴交点的数来分析，要画出函数大致图象，应函数的单调性、函数的极值及函数经过的特殊点等多个方面来考查.

［解］(1),因为函数的定义域为,令,解得:;令,解得且,所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.

(2)与轴的交点设为,则,由于,切线的斜率为.切线方程为.

令,得,令,得.

所以所围三角形的面积为.

(3)方程等价于,在平面直角坐标系中画出函数的图象,如右图所示:

所以当时,方程有2个根;当时,方程有1个根;当时,方程没有根;当时,方程有1个根.

［警示］在近年的高考试题中，导数越来越成为一个考查热点，由于导数本身具有强大的工具作用，导数的单调性、极值、最值的研究，曲线切线问题的解决，不等式的证明、恒成立问题以方程根的讨论等问题中都具有着重要的作。以导数为载体的综合题已经成为了高考命题的风向标。利用导数不仅能够判断函数的单调性,研究函数的极值与最值情况,而且还能在此基础上画出函数的大致图象,得到函数图象与轴交点的或两个函数的交点的条件,从而为研究方程的根及函数的零点提供方便,所以在解决方程的根的问题中,要善于运用导数的方法进行求解.

［变式训练］

4．已知函数

(1)若，求证：；

(2)是否存在实数，使得方程有四个不同的实数根？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由。

例5．(2007山东省样题)已知函数

(Ⅰ)若，且存在单调递减区间，求的取值范围；

(Ⅱ)设函数的图象C₁与函数图象C₁交于点P、Q，过线段PQ的中点作轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

［剖析］利用导数的几何意义，函数在某一点处的导数值，就是函数图象在该点处的切线的斜率，求得切线的斜率后，再通过比较其在C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线的斜率不相等，来证明该题。

［解］(I)，则

因为函数存在单调递减区间，所以有解.

又因为时，则有的解.

①当时，为开口向上的抛物线，总有的解；

②当时，为开口向下的抛物线，而总有的解；

则,且方程至少有一正根.此时，

　 综上所述，的取值范围为.

(II)证法一　 设点P、Q的坐标分别是，，，

　则点M、N的横坐标为 在C₁点M处的切线斜率为

　在C₂点N处的切线斜率为

　假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则， 即，则

=

所以　 设则　　　　 ①

令，则

因为时，，所以在上单调递增. 故

则. 这与①矛盾，假设不成立.

故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

证法二：同证法一得

因为，所以，令，得　 ②

令

因为，所以时，，故在上单调递增.从而，即，于是在上单调递增.

故即这与②矛盾，假设不成立.

故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

［警示］利用导数求曲线的切线问题，几乎是每年必考的内容，这类问题，即有可能出现在选择题与填空题中，也有可能出现在解答题中。在这类问题中，导数所担负的任务是求出其切线的斜率，综合考察导数在解决函数单调性，函数曲线的切线等问题中的作用．

［变式训练］