12．(文)(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝

(1)判断△ABC的性状；

(2)若|+|＝2，求·的取值范围．

解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，

∴B＝2C，且B+2C＝π，

若B＝2C，＜C＜，

∴π＜B＜π，B+C＞π(舍)；

∴B+2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．

(2)∵|+|＝2，∴a²+c²+2ac·cosB＝4，

∴cosB＝(∵a＝c)，

而cosB＝－cos2C，＜C＜，

∴＜cosB＜1，

∴1＜a²＜，

又·＝accosB＝2－a²，∴·∈(，1)．

(理)(2010·广州模拟)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，m，n的夹角为.

(1)求C的大小；

(2)已知c＝，三角形的面积S＝，求a+b的值．

解：(1)m·n＝cos²－sin²＝cosC，

又m·n＝|m||n|cos＝，

故cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝.

(2)S＝absinC＝absin＝ab，

又已知S＝，故ab＝，∴ab＝6.

∵c²＝a²+b²－2abcosC，c＝，

∴＝a²+b²－2ab×＝(a+b)²－3ab.

∴(a+b)²＝+3ab＝+18＝，

∴a+b＝.

11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB+bcosA＝csinC，则角B＝________.

解析：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，

∴tanA＝，∴A＝.

∵acosB+bcosA＝csinC，

∴sinAcosB+sinBcosA＝sinCsinC，

∴sin(A+B)＝sin²C，∴sinC＝sin²C，∵sinC≠0，∴sinC＝1.

∴C＝，∴B＝.

答案：

10．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．60° 　　　　B．75°　　　 C．90°　 　　　　D．115°

解析：不妨设a为最大边．由题意，

＝＝，

即＝，

∴＝，

(3－)sinA＝(3+)cosA，

∴tanA＝2+，∴A＝75°.

答案：B

(理)锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(1,2)　 　B．(1，)　　 C．(，2) 　　D．(，)

解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，

∴∴＜B＜，

∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，

＝＝2cosB∈(，)．

答案：D

9.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是　　　　　 (　)

A．5　　 　B．6 　　　C．7　 　　　D．8

解析：依题意及面积公式S＝bcsinA，

得10＝bcsin60°，得bc＝40.

又周长为20，故a+b+c＝20，b+c＝20－a，

由余弦定理得：a²＝b²+c²－2bccosA＝b²+c²－2bccos60°

＝b²+c²－bc＝(b+c)²－3bc，

故a²＝(20－a)²－120，解得a＝7.

答案：C

8．(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.

(1)求△ABC的面积；

(2)若c＝1，求a的值．

解：(1)因为cos＝，

所以cosA＝2cos²－1＝，sinA＝.

又由·＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.

因此S_△ABC＝bcsinA＝2.

(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，

由余弦定理，得a²＝b²+c²－2bccosA＝20，所以a＝2.

7．在△ABC中，面积S＝a²－(b－c)²，则cosA＝　　　　　　　　　　　　　 (　)

A. 　　　B.　　 C. 　　　　D.

解析：S＝a²－(b－c)²＝a²－b²－c²+2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA),16(1－cosA)²+cos²A＝1，∴cosA＝.

答案：B

6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于　　　　　　 (　)

A. 　　　　B.　　 C.或　 　　　　D.或

解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，

∴C＝或，A＝或，∴S＝或.

答案：D

5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是　　　　　　　　　 (　)

A．直角三角形 　　　　　　　　　　B．等腰三角形

C．等腰直角三角形　 　　　　　　　D．正三角形

解析：法一：因为在△ABC中，A+B+C＝π，

即C＝π－(A+B)，所以sinC＝sin(A+B)．

由2sinAcosB＝sinC，

得2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.

又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.

所以△ABC是等腰三角形．

法二：利用正弦定理和余弦定理

2sinAcosB＝sinC可化为

2a·＝c，即a²+c²－b²＝c²，即a²－b²＝0，

即a²＝b²，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．

答案：B

4.(2010·天津模拟)在△ABC中，cos²＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

解析：∵cos²＝，∴＝，∴cosB＝，

∴＝，

∴a²+c²－b²＝2a²，即a²+b²＝c²，

∴△ABC为直角三角形．

答案：B

3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a²－c²＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.

解：由余弦定理得

a²－c²＝b²－2bccosA.

又a²－c²＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA+2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，

sinAcosC+cosAsinC＝4cosAsinC，

sin(A+C)＝4cosAsinC，

sinB＝4sinCcosA.

由正弦定理得sinB＝sinC，

故b＝4ccosA.②

由①、②解得b＝4.