例1  已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

       （1）方程有两个不相等的实数根；  （2）方程有两个相等的实数根

       （3）方程有实数根；                （4）方程无实数根．

  以两个数x₁，x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是  x²－(x₁＋x­₂)x＋x₁?x₂＝0．

【例题选讲】

所以，方程x²＋px＋q＝0可化为 x²－(x₁＋x­₂)x＋x₁?x₂＝0，由于x₁，x₂是一元二次方程x²＋px＋q＝0的两根，所以，x₁，x₂也是一元二次方程x²－(x₁＋x­₂)x＋x₁?x₂＝0．因此有

     说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．

  特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x²＋px＋q＝0，若x₁，x₂是其两根，由韦达定理可知  

  x₁＋x­₂＝－p，x₁?x₂＝q，即      p＝－(x₁＋x­₂)，q＝x₁?x₂，

定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：

2．一元二次方程的根与系数的关系

由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：

对于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当Δ   0时，方程有两个不相等的实数根：                        ；

[2]当Δ   0时，方程有两个相等的实数根：                          ；

[3]当Δ   0时，方程没有实数根．

一元二次方程，用配方法将其变形为：                          ．

1．一元二次方程的根的判断式