4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=，则∠DAB的度数为 　(　　　 )

　 A．

　 B．

　 C．

　 D．

3.　 各式中，运算结果错误的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　)

　 A.　 　　　B.　

　 C.　 　　　　　　　　D．

2.　 的相反数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　 A．-3　　　　　　　　　　　　　 B.　

　 C.　 3　　　　　　　　　　　　　 D.　

1．41080000用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

　 A.　 　　　　　　　　　B.　

　 C.　 　　　　　　　　　D.　 　

例7 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，

析证：将结论变形为AC·BC+AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．

如图8，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．

在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BD+BC·AD=AB·CD

易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC+BC·AB=AB·AC，

例6 已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b+c)，

求证：∠A=2∠B．

分析：将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．

证明：如图 7，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．

∵AD=BC，

∴∠ABD=∠BAC．

又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．

依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD+BD·AC． ①

而已知a2=b(b+c)，即a·a=b·c+b2． ②

∴∠BAC=2∠ABC．

例5 若a、b、x、y是实数，且a2+b2=1，x2+y2=1．

求证：ax+by≤1．

证明：如图6，作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．

由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．

据托勒密定理，有AC·BD+BC·AD=AB·CD．

∵CD≤AB＝1，∴ax+by≤1．

例4 等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积．

如图5，ABCD中，AB∥CD，AD=BC，

求证：BD2=BC2+AB·CD．

证明：∵等腰梯形内接于圆，依托密定理，则有AC·BD=AD·BC+AB·CD．

又∵ AD=BC，AC=BD，

∴BD2=BC2+AB·CD．

例2 证明“勾股定理”：

在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2+BC2

证明：如图3，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．

由托勒密定理，有

AC·BD=AB·CD+AD·BC． ①

又∵ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ②

把②代人①，得AC2=AB2+BC2．

例3 如图4，在△ABC中，∠A的平分 线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB+AC)．

证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD+AC·BD．

∵∠1=∠2，∴ BD=CD．

故 AD·BC=AB·BD+AC·BD=

BD(AB+AC)．

例1 如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求证：PA=PB+PC．

分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．

若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC+PC·AB，

∵AB=BC=AC．

∴PA=PB+PC．