一、创设情景

1、学习直线与圆时，对圆的认识经历了以下过程

2、学习了椭圆的定义，也有类似的思考

二、建构数学

1、椭圆标准方程的推导

如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F₁、F₂，并且O与线段F₁F₂的中点重合.

设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，

那么焦点F₁、F₂的坐标分别是（－c,0），(c,0).

又设M与F₁和F₂的距离的和等于常数2a.

由椭圆定义，椭圆就是集合P=｛MㄏMF₁+MF₂=2a｝

因为MF₁=，MF₂=

所以得：+=2a整理得：（a²－c²）x²+a²y²=a²(a²－c²).

由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a²－c²＞0.

令a²－c²=b²，其中b＞0，代入上式整理得：

2、椭圆的标准方程：

标准方程

不

同

点

图

形

焦点坐标

两轴上截距

(±a,0)与(0,±a)

(0,±a)与(±b,0)

相

同

点

定   义

平面内到两个定点F₁、F₂的距离的和等于

常数（大于F₁F₂）的点的轨迹

a、b、c的关系

焦点位置的判断

分母哪个大，焦点就在哪个轴上

椭圆的一般方程：mx²+ny²=1    (m,n∈R⁺,m≠n)

三、数学运用

1、例1. 已知一个运油车上的储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的两个点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。

分析:

椭圆标准方程为：

例2、已知方程(2-k)x²+ky²=2k-k²表示焦点在x轴上的椭圆，求k的范围

解：原方程可以化为+=1，k>2-k>0,故1<k<2

  练习:课本28页1，2，3

四、回顾总结

通过本节学习，要求理解并掌握椭圆定义，并熟练掌握椭圆的两种标准方程

作业：课本第28页1、2、4

[补充习题]

1、方程=10,化简的结果是 __________   

2、如图，F(3,0)是椭圆的一个焦点，且CF⊥x轴，OC∥AB,则椭圆的标准方程是_________

3、α，方程sinαx²+cosαy²=1表示焦点在x轴上的椭圆，则α的取值范围为 _____

4、椭圆焦距为2，则m=________________

5、椭圆中a+c=10,a-c=4,则椭圆的方程为___________________________

6、 已知⊙C₁:x²+y²+4x=0,⊙C₂:x²+y²-4x-60=0,⊙M和定圆⊙C₁外切和⊙C₂内切，求点M的轨迹方程

7*、在面积为l的△PMN中tgM＝1/2，tgN＝－2，建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.　　　　　　　　　　　　　　　　

[答案]1、

2、

3、（0，）

4、5或3

5、椭圆或

6、
　7*、　
　解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴。
设椭圆方程为：x²/a²＋y²/b²＝1 分别记M、N、P点的坐标为(-c,0)、(c,0)和(x₀,y₀).
∵ tgα=tg(π-∠N)=2,∴ 由题设知　　 　　　　在△MNP中，MN＝2c，MN上的高为4c/3
　　∴  　　
　　∴a＝(│PM│+│PN│)/2＝从而 b²=a²-c²=3.
解法二:同解法一得：∵ 点P在椭圆上,且a²=b²+c².　　　解得b²＝3　或　b²＝-1/3(舍去)a²=b²＋c²=15/4.故所求椭圆的方程为：4x²/15＋y²/3＝１

§2.2.1椭圆的标准方程(2)――标准方程的应用

教学目标：

教学重点：椭圆的定义与标准方程

教学难点：根据已知条件求椭圆的标准方程。

教学过程：

二、数学运用

例1求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程；

分析：可能是a,也可能是b,相应设方程、解方程得到椭圆方程为：5x²+4y²=1或4x²+5y²=1

变形：设椭圆的焦点为F₁，F₂,M为椭圆上任意一点，MF₁F₂能构成三角形，方程是什么？ MF₁>MF₂呢？

说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；

②要求学生对圆锥曲线的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确的用待定系数法求方程。

例2  将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线得方程，并说明它是什么曲线？

解：[方法一]用相关点法：设所得曲线上任意一点得坐标为，圆上对应点的坐标为     因为    所以

[方法二]参数法：设圆上任意一点坐标为(2cosθ,2sinθ), 曲线上任意一点得坐标为,则

，消去θ得方程为

说明：在求解曲线轨迹的过程当中，使用到了利用中间变量求轨迹的方法，此中间变量可以是相关点法，也可以是参数法。

变式： 已知F是椭圆25x²+16y²=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P是的中点，求动点P的轨迹方程.（100x²+16（2y-3）²=400）

例3、已知P为椭圆上的一点，是焦点，,求面积S

解：S=PF₁.PF₂sinα，而F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁.PF₂cosα=(PF₁+PF₂)²-2PF₁.PF₂(1+cosα)

4c²=4a²-2PF₁.PF₂(1+cosα)PF₁.PF₂=2(a²-c²)=2b²,S=.2b²=

说明：椭圆的方程和定义有时要混合使用

练习：椭圆内有一点A,F₁为左焦点，在椭圆上求一点P，使PF₁+PA取最值

（设F₂为右焦点，则PF₁+PA=2a+PA-PF₂,过A和F₂作直线与椭圆的交点即为所求）

三、回顾总结：

（1）椭圆的定义及标准方程；

（2）椭圆的标准方程有两个；标准方程中的关系；

（3）用定义法、待定系数法、中间变量法求椭圆的方程

[补充习题]

   1、△ABC中，A(-6,0),B(6,0),求满足下列条件的点C的轨迹方程。(1)BC、AB、AC成等差数列，且BC>AC_____________________;(2)AC、BC所在直线斜率乘积为-__________

   2、F₁,F₂为两个焦点，过F₂的直线交椭圆于A、B两点，AB=5,则AF₁+BF₁=____

   3、圆x²+y²=4上任意一点P作PA⊥x轴于A,PA的中点为M，则M的轨迹方程为______

   4、已知x轴上一定点A(1,0),Q为+y²=1上的动点，求AQ的中点M的轨迹方程

   5、F₁、F₂分别是椭圆的左右焦点，A、B分别是椭圆与x轴的两个交点，P为椭圆上任意一点。求证：以PF₂为直径的圆与以AB为直径的圆内切

[答案]

1、(1)+=1，x<0,y≠0;(2)

2、11

3、x²+4y²=4

4、(2x-1)²+16y²=4

5、略

§2.2.2椭圆的几何性质(1)

1、知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

2、过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。

3、情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过观察与思考，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。

教学重点：椭圆的几何性质

教学难点：椭圆离心率与椭圆关系

教学过程：

1、椭圆的定义与标准方程

2、思想方法总结：利用平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题处理。

建立曲线方程的目的就是要用代数的方法研究几何问题，本课就是要根据椭圆的标准方程去研究椭圆的几何性质。

在以前的学习中，我们已经接触到如何通过方程研究几何问题，例如直线的平行与垂直，函数奇偶性中函数解析式的特征与图象的对称性的关系等等，请思考：

如何根据椭圆标准方程研究几何性质？

１、范围：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式

椭圆位于直线和所围成的矩形里．

即,

2、对称性：  

从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。从方程上看： 

（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；

（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；

（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。

３、顶点：

令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？（-a,0）,(a,0)

令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？(０,-b), (0,b)

(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。

(2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，

它们的长分别等于2a和2b；

(3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

4、离心率：

椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．

说明①因为所以．

②e越接近１，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；

反之，e越接近于０，c越接近于０，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；

③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆．

[对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y轴的椭圆标准方程的几何性质（要求学生自己归纳），并能根据椭圆方程得到相应性质．]

三、数学运用

教材32页练习1，2，3

例1、椭圆的一个焦点与两顶点连成正三角形，则长轴是短轴的多少倍？

解答：根据对称性和顶点性质，一个焦点与短轴顶点的连线就是长半轴，原点、短轴的一个顶点、一个焦点构成一个直角三角形，a=b

变形1：上题中，离心率为__________？（）

变形2：椭圆短轴的一个顶点对两个焦点的张角（或视角）为120⁰，离心率为____（）

例2、求椭圆（a>b>0）上点到左焦点F距离的最值

解：[方法一]设P(x,y)为椭圆上任意一点,则，PF²=(x+c)²+y²=x²+2cx+c²+b²(1-)=

x²+2cx+a²在-a≤x≤a上单调增，x=-a时PF²_min=(c-a)²,x=a时PF²_max=(a+c)²,∴PF_max=a+c,PF_min=a-c反应在图上正好为长轴的两个顶点

[方法二]设P(acosθ,bsinθ),PF²=(acosθ+c)²+(bsinθ)²=c²cos²θ+2ca.cosθ+a²是cosθ的单调增函数，∴cosθ=-1时，PF²_min=(c-a)², cosθ=1时PF²_max=(a+c)²,∴PF_max=a+c,PF_min=a-c 反应在图上正好为长轴的两个顶点

    思考：到右焦点距离呢？

四、回顾总结

标准方程

图象

范围

对称性

顶点

长轴、短轴

离心率

五、布置作业（A组题）课本第32页感受理解1、3、4、5、8

   [补充习题]

1、(1)椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到中心的距离为3，则椭圆的标准方程为__________________

(2)对称轴为坐标轴的椭圆焦点F₁,F₂在x轴上，短轴的一个短点为B,△BF₁F₂周长为4+2，∠BF₁F₂=30⁰,则椭圆的方程为____________________

2、椭圆x²+ky²=1(0<k<1),k越接近___________时，椭圆越扁

3、我国发射的神州5号载人飞船运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距离地球表面m千米，远地点距离地球表面n千米，地球的半径为R,则该轨道的短轴长为_________

4、焦点在x轴上的椭圆与+=1有相同的离心率，则其方程的形式为__________

5、椭圆+=1的离心率为，则m=___________

6、已知椭圆对称轴是坐标轴，O为原点，F为一个焦点，A为一个顶点，若椭圆的长轴为6，∠OFA=,求椭圆的方程

7、椭圆过点(3,0),离心率为，求椭圆的标准方程

8、求椭圆（a>b>0）上到点B(0,b)距离的最值

[解答] 1、（1）或；（2）;2、0;3、2

4、+=1;  5、3或; 6、或;7、或

8*、设P(x,y),当P与B重合时，PB取得最小值为0，另有

PB²=x²+(y-b)²=(1-)a²+y²-2by+b²=-y²-2by+a²+b²是y的二次函数，-b≤y≤b,不考虑定义域情况下函数的对称轴为y=;若≤b，当 y=时PB²_max=;若>b，当 y=-b时PB²_max=4b²

总之，PB_min=0,PB_max=

§2.2.2椭圆的几何性质(2)

教学目标：

教学重点、难点：离心率范围的拼凑、左边方法

教学过程：

一、复习引入

1、椭圆的性质复习

2、练习教材P32练习题4，5

二、数学运用

例1、设P是椭圆（a＞b＞0）不在长轴上的一点，F₁、F₂是椭圆的焦点，(1)什么情况下，P对F₁及F₂的张角最大,并求此时张角的余弦值；(2)若∠F₁PF₂=90°，求椭圆的率心率e的范围

解：(1)设PF₁=m,PF₂=n,则m+n=2a,cos∠F₁PF₂===-1,而mn≤=a²，cos∠F₁PF₂≥-1，等号成立当且仅当m=n=a,即：P(0,±b)时，∠F₁PF₂最大，此时cos∠F₁PF₂=-1

(2)设短轴的一个顶点为B, ∠F₁BF₂≥90⁰，∠F₁BO≥45⁰，

 e≥，则离心率的范围是≤e<1

    说明：以上方法的核心是拼凑定值，称拼凑法

变形练习：如果∠F₁PF₂=120⁰，求e的范围（≤e<1）

   例2、设P是椭圆（a＞b＞0）非长轴上的一点，A₁、A₂是椭圆长轴的两个顶点，(1)什么情况下，P对A₁及A₂的张角最大,并求此时张角的正切值；(2)若∠A₁PA₂=120°，求椭圆的率心率e的范围

   解：(1)设P(x,y),不妨设y>0, 则,设∠A₁PA₂=θ，则∠A₁+∠A₂=180⁰-θ,

tan(∠A₁+∠A₂)=-tanθ=，而tanA₁=,tanA₂=,代入tanθ=-，x²=a²(1-),tanθ===-是的增函数，当y=b时最大。同理当P为短轴顶点时，θ最大，此时tanθ=-

(2) ∠A₁BA₂≥120⁰, ∠A₁BO≥60⁰，≤e<1

说明：这一方法核心是通过坐标计算得出的，称坐标法

练习：例题中若存在PA₁⊥PO，求离心率e的范围（解答(,1)）

四、作业：P33----5,6,7,9,10

补充作业

1、过椭圆（a＞b＞0）的焦点且垂直于长轴的弦长为____________

2、线段AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，将AB五等份，过四个分点分别作AB的垂线交椭圆上半部于P₁,P₂,P₃,P₄四个点，F为椭圆的右焦点，则PF₁+PF₂+PF₃+PF₄=_____________

3、过点(x₀,y₀)的任意直线与椭圆（a＞b＞0）有公共点，则(x₀,y₀)应该满足关系式________________

4、设P是椭圆（a＞b＞0）P对两个焦点的张角为60⁰，求椭圆的率心率e的范围

5、设P是椭圆（a＞b＞0）非短轴上的一点，B₁、B₂是椭圆短轴的两个顶点，若∠B₁PB₂=60°，求椭圆的率心率e的范围

[答案]1、;    2、4a;     3、;    4、≤e<1;  5、≤e<1

                        2.2.2直线与椭圆

[教学目的]

[教学难点、重点]最值求法与差分法（本节是一个课件）

[教学流程]

（d=,特别的两平行线ax+by+C_i=0间距离为

2、如何判断直线与圆的位置关系？弦长如何确定？圆上点到直线距离最值呢？

(通过方程组解的个数或圆心到直线的距离d来确定，弦长为2,最值通过数形结合为|r±d|)

提出问题：直线与椭圆关系如何？进入主题――直线与椭圆

二、要点内容

例1、求椭圆+=1上点到直线l:x-y+7=0距离的最值,并求出相应点的坐标

[分析思路一]与圆类似：将直线l平移，与椭圆相切时，切点到直线距离即为两距离

解：[方法一]设与直线l平行的直线:y=x+c与椭圆+=1相切，代入椭圆方程得到：

25x²+32cx+16c²-144=0,△=(32c)²-4×25×(16c²-144)=0，解得c=±5，它们与直线l的距离即为椭圆上点到直线距离的最值，d_max==6,此时代入可以求得点P₂(,-),d_min==此时代入可以求得P₁(-,)

说明：这一方法的核心是数形结合，称直线平移法

[分析思考二]能否通过直线上点的坐标直接求距离呢？

解：设P(4cosθ,3sinθ),它到直线l的距离d==

==，其中sinφ=,cosφ=

当sin(φ-θ)=1时，d_max==6,此时φ-θ=+2kπ，k∈Z,θ=--2kπ+φ，cosθ=sinφ=,sinθ=-cosφ=-，对应点P₂(,-)；同理当sin(φ-θ)=-1时，d_min==,此时φ-θ=-+2kπ，k∈Z,θ=-2kπ+φ，cosθ=-sinφ=-,sinθ=cosφ=，对应点P₁(-,)

   说明：这一方法中，θ称参数，相应方法称参数法。

   例2、已知椭圆+y²=1   (1)求过点P(, )且被P平分的弦的方程。(2)求斜率为2的平行弦的终点的轨迹方程

解：设弦的两个端点为P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),则x₁²+2y₁²=2    x₂²+2y₂²=2两式作差得到

(x₁-x₂)(x₁+x₂)-2(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0,∵x₁≠x₂∴(x₁+x₂)+2 (y₁+y₂)=0

(1)由中点公式，x₁+x₂=1,y₁+y₂=1,而为直线的斜率k,∴1+2k=0,k=-,直线方程为y-=-(x-)即2x+4y-3=0,代入椭圆方程检验有△>0,∴弦的方程为2x+4y-3=0（在椭圆内x₁²+2y₁²<2）

说明：这一方法称差分法或点差法，适用于中点――弦的有关问题，其步骤为：

S1:设弦的端点坐标，代入曲线方程，作差

S2:根据=k, x₁+x₂=x₀,y₁+y₂=x₀

S3:得出相应解，并检验，必要时加条件限制

(2)设中点为(x,y),则x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,=2,从而2x+2×2×2y=0即x+4y=0(x₁²+2y₁²<2)

练习：求过点(2,1)引直线与该椭圆交于B、C两点，求BC中点的轨迹方程（此时=，方程x²+2y²-2x-2y=0(x²+2y²<1)）

2、涉及中点――弦问题时常用差分法

四、作业

1、椭圆+=1上一点P到直线l:3x-2y-16=0距离最短的点的坐标是____________

2、点P(x,y)为曲线C:上任意一点，θ∈，则的范围是__________

3、椭圆C:x²+2y²=4.(1)直线l:y=x+1被C截得的弦中点坐标为________________

(2)与l平行的直线被C截得的弦中点的轨迹方程为_____________

(3)过点(1,1)作C的弦，其中点的方程为______________________________________

4、在椭圆x²+8y²=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小，求出点P的坐标

[答案]

1、(-,)

2、

3、(1)(-,);   (2)x+2y=0(x²+2y²<4)     (3)x²+2y²-x-2y=0(x²+2y²<4)

4、(-,)