天津市十二区县2009年重点学校高三毕业班联考（二）
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 （共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
标准差
锥体体积公式 台体体积公式
，
，
其中
为底面面积，
为高 其中
为上底面积，为下底面积，为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 
，
，其中
为球的半径
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数
的值是 （ ）
A．2
B． 
C． 
D． 
2．实数
的取值范围是 （ ）
A．
B．[8，10] C．[8，14] D． 
3． 如图，直三棱柱的主视图面积为
的面积为 （ ）
A．
B．a2
C．
D．
4． 右图给出的是计算
的
值的一个程序框图，判断其中框内应填入
的条件是 （ ）
A． i>10 B． i<10
C． i>20 D． i<20
5．抛物线
的准线与双曲线等
的两条渐近线所围成的
三角形面积等于 （ ）
A．
B．
C．2 D． 
6．已知A为三角形的一个内角，sin
=
, 则
= （ ）
A．
B．
C．
或 D．
或
7．已知
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．给出下列四个结论：
①
；
②命题“
的否定是“
”；
③“若
则
”的逆命题为真；
④集合
，则“
”是“
”
充要条件则其中正确结论的序号为 （ ）
A．①③ B．①② C．②③④ D．①②④
9．设数列
是首项为1公比为3的等比数列，把中的每一项都减去2后，得到一个新数列
，的前n项和为
，对任意的n
, 下列结论正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
是定义在R上的奇函数，且当
时不等式
成立， 若
，
，则
的大小关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 选择题 （共100分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中．
2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卷中相应的横线上．
11．
的展开式中常数项为
．
12．对某校400名学生的体重（单位：
）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，
则学生体重在60以上的人数为
．
13．已知圆
的参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
，则圆与直线
的公共点的个数是 ．
14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆
心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°
到OD，则PD的长为 ．
15． 若关于
的不等式
对
任意
在
上恒成立，则实常数
的取值范围是
．
16．有两排座位，前排10个座位，后排11个座位，现安排
人就座，如果因故后排中间的
个座位不能坐，并且这人不能左右相邻，那么不同排法的种数是
．
三、解答题：本大题6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知函数
．
（I）求函数的最小正周期；
（II）将函数
的图象向左平移
个单位，向下平移b个单位,得到函数
的图象,求
的值；
（Ⅲ）求函数
的值域．
18．（本小题满分12分）2008年北京奥运会乒乓球比赛中，共设男子单打、女子单打、男子团体、女子团体四枚金牌．中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为
，中国乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为
,已知中国女队包揽两枚金牌的概率为
．
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ） 记中国乒乓球队获得金牌的枚数为
，求的分布列和数学期望
．
19．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，
，
（I）求证：CD
;
（II）求AD与SB所成角的余弦值;
（III）求二面角A―SB―D的余弦值．
20．（本小题满分12分）
数列
满足 
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）记
，是否存在一个实数t，使数列
为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{
}的前n项和Sn ．
21．（本小题满分14分）椭圆
过点P
，且离心率为
，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且 
，定点A（－4，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：当
时 ，
；
（Ⅲ）当M、N两点在C上运动，且
=6时, 求直线MN的方程．
 |
22．（本小题满分14分）
设函数
（
R）．
（Ⅰ）当
时，求
的极值；
（Ⅱ）当
时，求的单调区间；
（Ⅲ）当
时，对于任意正整数n，在区间
上总存在m+4个数
使得
成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由．
一、选择题：
1．A 2． D 3．C 4．A 5．D 6．A 7．B 8．B 9．C 10．C
二、填空题：
11．
12．100 13．2 14．
15．
16．276
三、解答题：
17．解：
（I）
----2分
-------------3分
函数
的最小正周期是
-------------4分
18．解：（Ⅰ）由已知得，
则
． -------------4分
（Ⅱ）中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量
，
它的所有可能取值为0，1，2，3，4 （单位: 枚）．那么-------------5分
-------------6分
，
-------------8分
19．解：
（I）
是矩形，
--------------1分
又
-------------2分
-------------3分
CD
----------4分
（II）由
，及（I）结论可知DA、DC、DS
两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系
--------------5分
--------------6分
--------------7分
AD与SB所成的角的余弦为
--------------8分
（III）
设面SBD的一个法向量为
--------------9分
CD是CS在面ABCD内的射影，且
--------------6分
--------------8分
从而SB与AD的成的角的余弦为
（III）
面ABCD．
BD为面SDB与面ABCD的交线．
SDB
于F，连接EF， 从而得：
为二面角A―SB―D的平面角
--------------10分
在矩形ABCD中，对角线
中，
所以所求的二面角的余弦为
--------------12分
20．解：
（Ⅰ）由
----------1分
----------2分
------------3分
（Ⅱ）假设存在实数t，使得
为等差数列．
则
------------4分
------------5分
------------6分
存在t=1，使得数列
为等差数列． ------------7分
（Ⅲ）由（1）、（2）知：
------------8分
又为等差数列．
------------9分
------------10分
--11分
………………12分
21．解：
|
…………2分
………………3分
，
，椭圆C的方程为
--4分
，
， 
时，
， ----５分
---------６分
，则
（舍去），
------------７分
．
------------8分
=6
．--９分
………………12分
……………………13分
…………14分
．
时，
，
．
，解得
．
时，
；当
时，
．
，
，无极大值 ． ………………（3分）
． 
． ………………（4分）
，令
，
时，
，
或
．
时，
．
时，得
，
；
．
，增区间
． 
时，
；增区间为
．
，
． …………………………（9分）
时，
对一切正整数成立。…………11分
（当且仅当n=1时取等号）
单调递增，
，
为正整数，得
，
满足条件．
的最大值为32． ………………………………（14分）