1、（2009上海青浦区）已知是椭圆上的一个动点，则

的最大值是       ．

5

2、（2009闵行三中模拟）已知为双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，则|AF|=_______。

1

3、（2009冠龙高级中学3月月考）以椭圆中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____________。

4、（2009上海普陀区）设联结双曲线与（，）的个顶点的四边形面积为，联结其个焦点的四边形面积为，则的最大值为            .

5、（2009上海十四校联考）以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在上的抛物线方程是        

。

1、（2009上海十四校联考）我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题

   （1）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线的距离分别为d₁、d₂，试求d₁?d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系

   （2）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线

        （m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁?d₂的值

   （3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明

   （4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）

 解：（1）； ………………2分

    联立方程； …………3分

    与椭圆M相交 …………4分

   （2）联立方程组

    消去

   （3）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线

    的距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分

    证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交

    命题得证

   （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

   （4）可以类比到双曲线：设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点F₁、F₂到直线距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：

………………20分

   （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

2、（2009上海卢湾区4月模考）如图，已知点，动点在轴上，点

在轴上，其横坐标不小于零，点在直线上，

且满足，.

 （1）当点在轴上移动时，求点的轨迹；

 （2）过定点作互相垂直的直线与，与

（1）中的轨迹交于、两点，与（1）中的轨迹交于、两点，求四边形面积的最小值；

 （3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，

则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：

  ① （解答本题，最多得6分）将（1）中的曲线推广为椭圆：，并

将（2）中的定点取为焦点，求与（2）相类似的问题的解；

  ② （解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线推广为椭圆：，并

将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解.

解：（1）设，易知，，，由题设，

得其中，从而，，且，

又由已知，得，

当时，，此时，得，

又，故，，即，，

当时，点为原点，为轴，为轴，点也为原点，从而点也为原点，因此点的轨迹的方程为，它表示以原点为顶点，以为焦点的抛物线；                                         （4分）

（2）由题设，可设直线的方程为，直线的方程为，，又设、，

则由，消去，整理得，

故，同理，                    （7分）

则，当且仅当时等号成立，因此四边形面积的最小值为.     （9分）

  （3）①  当时可设直线的方程为，

由，得，

故，，                     （12分）

，

当且仅当时等号成立.                                      （14分）

当时，易知，，得，故当且仅当时四边形面积有最小值.                              （15分）

②  由题设，可设直线的方程为，当时，由，

消去，整理得，得，

同理，                                    （12分）

则，其中，

若令，则由

，其中，即，故当且仅当，即时，有最大值，由，得有最小值，故当且仅当时，四边形面积有最小值为.       （17分）

 又当时，，，此时，由，得当且仅当时，四边形面积有最小值为.      （18分）

3、（2009上海八校联考）已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是

（1）求双曲线的方程；

 （2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由

解：（1）∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

原点到直线AB：的距离，　　４分

  故所求双曲线方程为 　　　　　　　　6分

（2）把中消去y，整理得 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

设，则

因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 ，　　　10分

可得     把代入，

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分

解，得，满足，14分

4、（2009上海奉贤区模拟考）已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程。

（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。

（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线过定点有关的数学问题，并解答所提问题。

（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。              ----(1分)

由抛物线定义得：点在以为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上，          ----(1分)

抛物线方程为。                             ----(2分) 

解法（B）：设动点，则。当时，，化简得：，显然，而，此时曲线不存在。当时，，化简得：。

（2），

，

，               ----(1分)

，

，即，，           ----(2分)

直线为，所以                      ----(1分)

                         ----(1分)

由（a）（b）得：直线恒过定点。                        ----(1分)

1、（逆命题）如果直线，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点。求证：OA⊥OB    （评分：提出问题得1分，解答正确得1分）

（若，求证：?=0，得分相同）

2、（简单推广命题）如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点（2p，0）

或：它的逆命题（评分：提出问题得2分，解答正确得1分）

3、（类比）

3．1（1）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)

3．1（2）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)

3．1（3）或它的逆命题

3．2（1）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)(a≠b)

3．2（2）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)(a≠b)

3．2（3）或它的逆命题

（评分：提出问题得3分，解答正确得3分）

4、（再推广）

直角顶点在圆锥曲线上运动

如：如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，且PA⊥PB。求证：直线L过定点(＋2p,－)

（评分：提出问题得4分，解答正确得3分）

5、（再推广）

如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，PA与PB的斜率乘积是常数m。求证：直线L过定点(－,－)

（评分：提出问题得5分，解答正确得4分）

或?为常数

顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或OA与OB的斜率乘积是常数或?为常数

5、（2009冠龙高级中学3月月考）双曲线上一点到左，右两焦点距离的差为2．

（1）求双曲线的方程；

（2）设是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，

求的面积；

（3）过作直线交双曲线于两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．

（1）

（2）      妨设在第一象限，则

（3）若直线斜率存在，设为，代入

得

若平行四边形为矩形，则

无解

若直线垂直轴，则不满足．

故不存在直线，使为矩形．

6、（2009上海青浦区）已知是抛物线上的相异两点．

（1）设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率1的直线相交于点P(4，4)，求直线AB的斜率；

（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线G，过该圆锥曲线上的

相异两点A、B所作的两条直线相交于圆锥曲线G上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；

（3）线段AB（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点．若，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．

（1）由解得；由解得．

由点斜式写出两条直线的方程，，

所以直线AB的斜率为．                                   ……4分

（2）推广的评分要求分三层

一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）

例：1．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率；

2．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-k 1的直线，与过点且斜率为k的直线相交于抛物线上的一点P（4，4），求直线AB的斜率；

3．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率； AB的斜率的值．

二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）

例：4．已知点R是抛物线上的定点．过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．

三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）

例如：5.已知抛物线上有一定点P，过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．

过点P（），斜率互为相反数的直线可设为，，其中。

 由得，所以

同理，把上式中换成得，所以

当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为。

（3）（理）点，设，则．

设线段的中点是，斜率为，则=．12分

所以线段的垂直平分线的方程为，

又点在直线上，所以，而，于是．                                                       ……13分

 (斜率，则--------------------------------13分)

线段所在直线的方程为，                  ……14分

代入，整理得               ……15分

，。设线段长为，则

=

                               ……16分

因为，所以                ……18分

即：．（）   

（文）设，则．               ……13分

设线段的中点是，斜率为，则=，……15分

线段的垂直平分线的方程为，             ……17分

又点在直线上，所以，

而，于是．故线段AB中点的横坐标为．   ……18分

7、（2009上海十校联考）已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．

（1）      若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；

（2）      现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？

（3）      如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）

【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以①不是双曲线的方程……1分

       双曲线不经过点，所以②不是双曲线的方程           …… 2分

        所以③是等轴双曲线的方程                             …… 3分

        等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上，                                                            …… 4分

联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，，所以双曲线的实轴长为                                         …… 5分

（2）      所求问题即为：在双曲线求一点，使最小．

首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上     …… 6分

等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为

       又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点，                                           …… 7分

设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：

所以，要求的最小值，只需求的最小值                                                                …… 8分

直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为                                                             …… 9分

    所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低       …… 10分

（3）① ，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点；                                                  …… 1分

② 渐近线是和．当时，当无限增大时，无限趋近于，与无限趋近；当无限增大时，无限趋近于．      …… 2分

③ 双曲线的对称轴是和．                             …… 3分

④ 双曲线的顶点为，，实轴在直线上，实轴长为                                                                 …… 4分

⑤虚轴在直线，虚轴长为                                 …… 5分

⑥焦点坐标为，，焦距                     …… 6分

说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分

（ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分

8、（2009上海九校联考）如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，

我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的         特征三角形是相似的，

则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭圆的相似比.

（1）已知椭圆和，

判断与是否相似，

如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；

（2）已知直线,与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，

在椭圆上是否存在两点、关于直线对称，

若存在，则求出函数的解析式.

（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的  

相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；

解：

解：（1）椭圆与相似. ………2分

因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，

而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，

因此两个等腰三角形相似，且相似比为   ……… 6分

（2）椭圆的方程为：.        ………8分

假定存在，则设、所在直线为，中点为.

则.       ………10分

所以.

中点在直线上，所以有.         ………12分

.

.     ………14分

（3）椭圆的方程为：.        

两个相似椭圆之间的性质有：                          写出一个给2分

①     两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

②     分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

③     两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.   ………20分