3. (2008·广东省实验中学高三第三次阶段考)在△ABC中，已知向量

，则△ABC为(　 )　　

　　 A．三边均不相等的三角形　　　　　　 B．直角三角形

　　 C．等腰非等边三角形　　　　　　　　 D．等边三角形

答案： D [解析]非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又= ，∠A=，所以△ABC为等边三角形

2. 已知，，，点C在内，且，设 ，则等于　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．　　　 　 B．3 　　　 C．　　　 　 D．

答案B∵ ，，

∴△ABC为直角三角形，其中

∴

∴　 即　　 故本题的答案为B．

1. 如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．　 s>|a|　　 B．　 s<|a|　　 C．　 s=|a|　　 D．　 s与|a|不能比大小

答案：A

6．在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？

答案：船航行的方向是与河岸垂直方向

成30°夹角，即指向河的上游.

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为(　 )

A．(－2，4)　　 　 B (10，－5) C　 (－30，25)　 D (5，－10)

答案：B 解析：5秒后点P的坐标为(－10，10)+5(4，－3)= (10,- 5)

4．广东省揭阳二中2009届高三统测(数学理)

在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量 与的夹角为，求角B的大小

解：由题意得：，即

0<B<………6分

考点三: 平面向量在物理中的应用

题型1: 用向量解决物理问题

[例4] 设炮弹被以初速v₀和仰角抛出(空气阻力忽略不计).当初速度v₀的大小一定时，发射角多大时，炮弹飞行的距离最远.

[解题思路]：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把v₀分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.

解析：将v₀分解为水平方向和竖直方向两个分速度v₁和v₂，则| v₁|=| v₀|cos,　

　| v₂|=| v₀|sin 　, 由物理学知识可知，

炮弹在水平方向飞行的距离S =| v₁|·t=| v₀|cos·t(t是飞行时间)　　 ①

炮弹在垂直方向的位移是0=| v₂|·t-gt²(g是重力加速度)　　　　 ②

由②得t=,③代入①得=

由于| v₀|一定，所以当=45°时，S有最大值.

故发射角=45°时，炮弹飞行的距离最远.

[例5] 某人骑车以每小时公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.

[解题思路]：利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”

解析： 设表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，

无风时此人感到风速为-，设实际风速为v，

那么此时人感到的风速为v - ，设= -，= -2

∵+= ∴= v - ，

这就是感到由正北方向吹来的风速，

∵+= ∴= v -2，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：ÐPBO = 45°,　 PA^BO, BA = AO

从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =　 即：|v | =

∴实际风速是的西北风

[名师指引]加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力

[新题导练]

3． 广东省高明一中2009届高三月考(数学理)

已知向量，，则向量与的夹角为(　　 )

A．　　　 　 B．　　　 　 C．　　　 　　 D．

答案：A　 解析：又所以选A

2．已知，若动点满足，求动点P的轨迹方程.

[解析]

由已知得，

化简得,这就是动点P的轨迹方程.

考点二: 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用

题型1: 与函数综合题

[例2] 广东省华南师大附中2009届高三综合测试(数学理)

为△的内角A、B、C的对边，，，且与的夹角为，求C；

[解题思路]： 考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式

解析： ∵，

∴

又

∴，∴

[例3] 广东省揭阳二中2009届高三统测(数学理)

已知A、B、C是直线上的不同的三点，O是外一点，向量满足,记.求函数的解析式；

　[解题思路]： A、B、C三点共线，

解析： 　

A、B、C三点共线，………3分

[名师指引]涉及与三角综合的题目，多数只利用向量的基本运算，把问题转化为三角问题，以考查三角函数知识为主。三点共线是一个常考常新的知识点。要记住常用结论：A、B、C三点共线，

[新题导练]

1．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.

[解析]　 设= b，= a，则=+= b+a, =b+a

∵A, G, D共线，B, G, E共线

∴可设=λ，= μ,

则=λ=λ(b+ a)=λb+λa,

= μ= μ(b+ a)=μb+μa,

∵　 即：b + (μb+μa) =λb+λa

∴(μ-λ) a + (μ-λ+)b = 0　　 ∵a,　 b不平行，

∴

3.重难点：.

1熟悉向量的性质及运算律；　　

2能根据向量性质特点构造向量；

3熟练平面几何性质在解题中应用；

4熟练向量求解的坐标化思路

5认识事物之间的内在联系；

6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一：平面向量在平面几何

题型1. 用向量证明几何题

[例1] 已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD

　[解题思路]：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件

解析：证法一：∵＝+，

＝－，

∴·＝(+)·(－)

＝｜｜²－｜｜²＝O

∴⊥

证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C(c，O)则由｜AB｜＝｜BC｜得a²+b²＝c²

∵＝－＝(c，O)－(a，b)＝(c－a，－b)，

＝+＝(a，b)+(c，O)＝(c+a，b)

∴·＝c²－a²－b²＝O

∴⊥　 即 AC⊥BD

[名师指引]如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。

[新题导练]