1. (2011山东滨州，9，3分)在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)(　　　 )

A.9.1　　　　　 B.9.5　　　　　　 C.3.1　　　　　　　　 D.3.5

[答案]C

4. (2011江苏苏州，28,9分)(本题满分9分)如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l₁上，OA边与直线l₁重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将三角形纸片AO₁B₁绕B₁点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A₁处，点O₁运动到了点O₂处(即顶点O经过上述两次旋转到达O₂处).

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO₁和弧O₁O₂，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁O₁O₂的面积之和.

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l₂上，OA边与直线l₂重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处(即点B处)，点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？

请你解答上述两个问题.

[答案]解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO₁、弧O₁O₂以及弧O₂O₃，

∴顶点O运动过程中经过的路程为

.

顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积为

=1+π.

正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为

.

问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为

∴π=20×π+π.

∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.

3. (2011四川凉山州，28，12分)如图，抛物线与轴交于(，0)、(，0)两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。

(1)求抛物线的解析式；

(2)点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；

(3)点在(1)中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

[答案]

(1)∵，∴，。

∴，。

又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。

∴抛物线的解析式为。

(2)设点的坐标为(，0)，过点作轴于点(如图(1))。

∵点的坐标为(，0)，点的坐标为(6，0)，

∴，。

∵，∴。

∴，∴，∴。

∴

。

∴当时，有最大值4。

此时，点的坐标为(2，0)。

(3)∵点(4，)在抛物线上，

∴当时，，

∴点的坐标是(4，)。

①　　 如图(2)，当为平行四边形的边时，，

∵(4，)，∴错误！链接无效。。

∴，。

②　　 如图(3)，当为平行四边形的对角线时，设，

则平行四边形的对称中心为(，0)。

∴的坐标为(，4)。

把(，4)代入，得。

解得 。

，。

2. (2011江苏南通，27，12分)(本小题满分12分)

　　 已知A(1，0)， B(0,－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)，经过其中三个点.

(1)　　　 求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)上；

(2)　　　 点A在抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)上吗？为什么？

(3)　　　 求a和k的 值.

[答案](1)证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)²+k(a＞0)得，

　　 ，解得a＝0，这与条件a＞0不符，

∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)上.

(2)[法一]∵A、C、D三点共线(如下图)，

∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)上.

∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：

①A、B、C；

②A、B、E；

③A、B、D；

④A、D、E；

⑤B、C、D；

⑥B、D、E.

将①、②、③、④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y＝a (x－1)²+k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解.

所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)上.

[法二]∵抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)的顶点为(1，k)

假设抛物线过A(1，0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与(1)矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)²+k(a＞0)上.

(3)Ⅰ.当抛物线经过(2)中⑤B、C、D三点时，则

，解得

Ⅱ. 当抛物线经过(2)中⑥B、D、E三点时，同法可求：_.

∴或_.

1. (2011江苏南京，28，11分)

问题情境

已知矩形的面积为a(a为常数，a＞0)，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．

①　　 填写下表，画出函数的图象：

x	……				1	2	3	4	……
y	……								……

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大(小)值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．

解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

[答案]解：⑴①，，，2，，，．

函数的图象如图．

②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．

③

=

=

=

当=0，即时，函数的最小值为2．

⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．

41. (2011湖北荆州，19，7分)(本题满分7分)如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.

[答案]△ABE是等边三角形，理由如下：

因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的

所以△PEA≌△PCD，且AE与DC所夹的锐角为60°

所以AE＝DC

又因为四边形ABCD是矩形

所以DC＝AB且DC∥AB

所以AE＝AB且∠EAB＝60°

所以△ABE是等边三角形.

40. (2011湖南湘潭市，24，8分)(本题满分8分)

两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm，

∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线上左右平移，如图⑵所示.

⑴ 求证：四边形ACFD是平行四边形;

⑵ 怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形;

⑶ 将Rt△ABC向左平移，求四边形DHCF的面积.

[答案] (1)证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF，

∴四边形ACFD是平行四边形；

(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，

∴可将Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm；

(3)在Rt△ABC中，．

∴当Rt△ABC向左平移时，EC=BC-BE=8-4=4(cm)，

在Rt△HEC中，．

∴四边形DHCF的面积为：cm²．

39. (2011河北，23，9分)如图12，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.

(1)求证：①DE=EG;

②DE⊥EG；

(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；

(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；

(4)当时，请直接写出的值.

[答案](1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG.

(2)如图

(3)四边形CEFK为平行四边形。

证明：设CK,DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CKEF为平行四边形。

(4)=

38. (2011贵州安顺，25，10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

⑴说明四边形ACEF是平行四边形；

⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

[答案](1)证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA　 ∴∠AEF =∠EAC

∵AF = CE = AE　 ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA　　 又∵AE = EA

∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ．

(2)当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ．

理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE

又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．

37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b.

(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.

(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为“飞镖一号”.

①小明仅有“,风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;

②小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”(如图3),其中

∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)

[答案](1)∠B=72°，∠E=36°

(2)5个；

(3)图略