5．在下列结论中，正确的结论为(　)

①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；③“p或q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件；④“￢p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．

A．①②　 　　　　　　　　　B．①③

C．②④ 　　　　　　　　　D．③④

解析：选B.①中p且q为真⇒p、q都为真⇒p或q为真；③中p或q为真⇒p、q至少一个为真，推不出￢p为假．

4．(2009年高考宁夏、海南卷)有四个关于三角函数的命题：

p₁：∃x∈R，sin²+cos²＝

p₂：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny

p₃：∀x∈[0，π], ＝sinx

p₄：sinx＝cosy⇒x+y＝

其中的假命题是(　)

A．p₁，p₄　 　　　　　　　　　B．p₂，p₄

C．p₁，p₃　 　　　　　　　　　D．p₂，p₃

解析：选A.∵对任意x∈R，均有sin²+cos²＝1而不是，故p₁为假命题．当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，sinx－siny＝sin(x－y)成立，故p₂是真命题．

∵cos2x＝1－2sin²x，

∴＝＝sin²x.

又x∈[0，π]时，sinx≥0，

∴对任意x∈[0，π]，均有 ＝sinx，因此p₃是真命题．当sinx＝cosy，即sinx＝sin(－y)时，x＝2kπ+－y，即x+y＝2kπ+(k∈Z)，故p₄为假命题．

3．下列命题中真命题的个数是(　)

①∀x∈R，x⁴＞x²；

②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；

③命题“∀x∈R，x³－x²+1≤0”的否定是“∃x∈R，x³－x²+1＞0”．

A．0　 　　　　　　　　　B．1

C．2　 　　　　　　　　　D．3

解析：选B.易知①当x＝0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的，故选B.

2．如果命题“￢(p∨q)”是真命题，则正确的是(　)

A．p，q均为真命题

B．p，q中至少有一个为真命题

C．p，q均为假命题

D．p，q中至多有一个为真命题

解析：选C.由题意得“p或q”是假命题，故只有p和q均假时复合命题才假，故选C.

1．下列全称命题中假命题的个数是(　)

①2x+1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x²＞0；③对任意一个x∈Z,2x²+1为奇数．

A．0 　　　　　　　　　　B．1

C．2　 　　　　　　　　　D．3

解析：选C.当x＝时①错，当x＝0时②错，所以①②是假命题，③是真命题．

6．已知p(x)：x²+2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，求实数m的取值范围．

解：因为p(1)是假命题，所以1+2－m≤0，解得m≥3，又因为p(2)是真命题，所以4+4－m＞0，解得m＜8，所以实数m的取值范围是3≤m＜8.

练习

5．在“￢p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“￢p”为真，那么p，q的真假为p________，q________.

解析：∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真．

“p∧q”为假，∴p，q至少有一个为假．

而“￢p”为真，∴p为假，q为真．

答案：假　真

4．“若a∉M或a∉P，则a∉(M∩P)”的逆否命题是________________________．

解析：命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，本题中“a∉M或a∉P”的否定是“a∈M且a∈P”．

答案：若a∈(M∩P)，则a∈M且a∈P

3．下列命题错误的是(　)

A．命题“若x²－3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x²－3x+2≠0”

B．若命题p：∃x∈R，x²+x+1＝0，则“￢p”为：∀x∈R，x²+x+1≠0

C．若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题

D．“x＞2”是“x²－3x+2＞0”的充分不必要条件

解析：选C.A“若p则q”形式的逆否命题形式为：“若非q则非p”；B特称命题的否定是全称命题；C只需两个命题中至少有一个为假，则“p且q”形式的命题即假，故C错；D易知命题正确．

2．下列全称命题为真命题的是(　)

A．所有的素数是奇数

B．∀x∈R，x²+1≥1

C．对每一个无理数x，x²也是无理数

D．所有的平行向量均相等

解析：选B.A中2是素数，但2是偶数，故A是假命题；C中x＝是无理数，但x²＝2是有理数，故C是假命题．D是假命题，平行向量不一定相等；相等的向量是方向相同，模相等的向量，故只有B是真命题．