449. PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．

解析：如图答9-22，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵　 EH、FH分别为DE、DF在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵　 ∠DPE=∠DPF，∴　 △DPE≌△DPF．∴　 PE=PF．∴　 Rt△HPE≌Rt△HPF，∴　 HE=HF，∴　 PH是∠APB的平分线．设EH=a，则PH=2EH=2a，．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴　 ．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，，∴　

448. 如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：

图9-32

　(1)BD⊥平面ADC；

　(2)若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影．

解析：(1)设AD=BD=CD=a，则．∵　 ∠BAC=60°，∴　 ．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵　 BD⊥AD，AD∩DC=D，∴　 BD⊥平面ADC．

　(2)如图答9-21，要证H是D在平面ABC上的射影，只需证DH⊥平面ABD．连结HA、HB、HC．∵　 H是△ABC的垂心，∴　 CH⊥AB．∵　 CD⊥DA，CD⊥BD，∴　 CD⊥平面ABD，∴　 CD⊥AB．∵　 CH∩CD=C，∴　 AB⊥平面DCH．　 ∵　 DH平面DCH，∴　 AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵　 AB∩BC=B，∴　 DH⊥平面ABC．

447. 如图9-31，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC的垂心．

解析：∵　 SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴　 SC⊥平面SAB，∴　 AB⊥SC．∵　 H是S在平面ABC上的射影，∴　 SH⊥平面ABC．连结CH，CH为SC在平面ABC上的射影，∵　 AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H为△ABC两条垂线的交点，∴　 H为△ABC垂心．

446. 如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，为a、b的公垂线段，．另有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．

解析：如图答9-20，过作，则与b确定平面a ．作于C，在平面a 内作CD⊥b于D，连结BD．∵　 ∴　 ．　 ∵　 ，，∴　 ．∵　 ，∴　 BC⊥a ．∵　 CD⊥b，∴　 BD⊥b(三垂线定理)，即BD为B点到b的距离．∵　 ，∴　 为异面直线a与b所成的角，∴　 ．∵　 ，，∴　 CD=1．在Rt△BCD中，，CD=1，∠BCD=90°，∴　 ，∴　 ．

445. 如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．

图9-29

解析：连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．

444. 已知正方体．则

　(1)与平面ABCD所成的角等于________；

　(2)与平面ABCD所成的角的正切值等于________；

　(3)与平面所成的角等于________ ；

　(4)与平面所成的角等于________；

　(5)与平面所成的角等于________.

解析：(1)∵　 ⊥平面ABCD，∴　 为与平面ABCD所成的角，

=45°．

　(2)∵　 ⊥平面ABCD，∴　 为与平面ABCD所成的角．设，则，∴　

　(3)∵　 平面，，∴　 ∥平面，∴　 与平面所成的角为0°．

　(4)∵　 ⊥平面，∴　 与平面所成的角为90°．

　(5)连结AC，交AD于H．连结，∵　 ⊥平面ABCD，CH平面ABCD，

∴　 ，又∵　 CH⊥BD，∴　 CH⊥平面．∴　 为在平面内的射影．∴　 为与平面所成的角．设正方体棱长为1，则，，∴　 ，即与平面所成的角为30°．

443. 设正方体的棱长为1，则

　(1)A到的距离等于________；

　(2)A到的距离等于________；

　(3)A到平面的距离等于________；

　(4)AB到平面的距离等于________．

解析：1)连接，AC，则，取的中点E，连结AE，则．

∴　 AE为点A到直线的距离，在Rt△ACE中，，，　

∴　 ，∴　 ．即A到、C的距离等于．

(2)连结．∵　 AB⊥平面，∴　 ．在Rt△中，AB=1，，，设A到的距离为h，则．即

，∴　 ，即点A到的距离为．

　(3)连结交于F，则．∵　 CD⊥平面，且AF平面，∴　 CD⊥AF．∵　 CD∩AD=D，∴　 AF⊥平面．∴　 AF为点A到平面的距离．∵　 ，∴　 ．

　(4)∵　 AB∥CD，∴　 AB∥平面，∴　 AB到平面的距离等于A点

到平面的距离，等于．

442. 下列命题中正确的是(　)．

　A．若a是平面a 的斜线，直线b垂直于a在平面a 内的射影为，则a⊥b

　B．若a是平面a 的斜线，平面b 内的直线b垂直于a在平面a 内的射影为，则a ⊥b

　C．若a是平面a 的斜线，直线b平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 内的射影，则a⊥b

　D．若a是平面a 的斜线，b是平面a 内的直线，且b垂直于a在另一个平面b 内的射影，则a⊥b

解析：C．如图答9-18，直线b垂直于a在平面a 内的射影，但不能得出a⊥b的结论．排除A．令b 是直线a与其在a 内的射影确定的平面，在b 内取垂直于的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答9-19，在a 内任取点P，∵　 ，则过b与P确定平面g ，设，因为b∥a ，则．∵　 ，∴　 ．∴　 ，∴　 b⊥a．于是C正确．

441. 已知直线PG⊥平面a 于G，直线EFa ，且PF⊥EF于F，那么线段PE、PF、PG的关系是(　)．

　A．PE＞PG＞PF 　　　　　　　　　　　B．PG＞PF＞PE

　C．PE＞PF＞PG　 　　　　　　　　　　D．PF＞PE＞PG

解析：C．如图答9-17．PG⊥a ，EFa ，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF为斜边，PG为直角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．

460.　 如图，在正方体ABDC-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.

(1)证明AD⊥D₁F

(2)求AE与D₁F所成的角

(3)证明面AED⊥面A₁FD₁

(4)设AA₁＝2，求三棱锥F-A₁ED₁的体积V??F-A₁ED₁?

解析：(1)∵AC₁是正方体，∴AD⊥面DC₁.又D₁FDC₁，∴AD⊥D₁F.

(2)取AB中点G，连结A₁G、FG(如图).因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F.

设A₁G与AE相交于点H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角.因为E是BB₁的中点，RtΔA₁AG≌RtΔABE，∠GA₁A＝∠GAH，从而∠AHA₁＝90°，即直线AE与D₁F所成角为直角.

(3)由(1)知AD⊥D₁F，由(2)知AE⊥D₁F，又AD∩AE＝A，所以D₁F⊥面AED.又因为D₁F面A₁ED₁，∴体积＝＝，∵AA₁＝2，∴面积＝-2-＝.

∴＝×A₁D₁×＝×2×＝1.