3. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)(本小题满分10分)

选修4-5：不等式选讲

对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．

解：由题知，恒成立，

故不大于的最小值　 　　　　　　…………

∵，当且仅当时取等号

∴的最小值等于2. 　　　　　　　　　　　　　　…………　

∴x的范围即为不等式|x－1|+|x－2|≤2的解　　　　 　　　　　　…………

　解不等式得　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　…………

2. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)

(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系下，已知圆O：和直线，

(1)求圆O和直线的直角坐标方程；

(2)当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.

解：(1)圆O：，即

圆O的直角坐标方程为：，即 　　…………

直线，即

则直线的直角坐标方程为：，即　　　　　　 …………

(2)由得

故直线与圆O公共点的一个极坐标为　 　　　　　　　…………

1．(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)(本小题满分10分)

选修4-1：几何证明选讲

如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,

为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,

(1)求的长度.

(2)若圆F且与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度

解：(1)连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

结合题中条件弧长等于弧长可得,

又,,

从而,故∽,∴, 　　…………

由割线定理知,故. ………

(2)若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，因为即

所以是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

则，即　 　　　　　　　　　…………

2010年联考题

7.(2008江苏)A.选修4-1：几何证明选讲　

　 如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线

交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED²=EC·EB.　

B.选修4-2：矩阵与变换　

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x²+y²=1在矩阵A=对应的变换下得到曲线F，求F的方程.　

C：选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆上的一个动点，

求S=x+y的最大值.

D：选修4-5：不等式选讲

设a,b,c为正实数，求证：

A.证明: 如图所示，因为AE是圆的切线，　

又因为AD是∠BAC的平分线，　

所以∠BAD=∠CAD.　

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.　

因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，　

所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED.　

因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA²=EC·EB，　而EA=ED，所以ED²=EC·EB.

B.解： 设P(x₀,y₀)是椭圆上任意一点，

点P(x₀，y₀)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′₀,y′₀),则有

　 又因为点P在椭圆上，故

　 所以曲线F的方程为

　 C.解：由椭圆

　 故可设动点P的坐标为(),其中

　 因此,

　 所以当

　 D.证明：因为a,b,c是正实数，由平均不等式可得

　 所以

6.(2008宁夏理)(10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数.

(1)作出函数的图象；

(2)解不等式.

解(1)

图象如下：

(2)不等式，即，

由得．

由函数图象可知，原不等式的解集为．

5.(2008宁夏理)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲

已知曲线C₁：，曲线C₂：.

(1)指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；

(2)若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出

，的参数方程.与公共点的个数和C₁与C₂公共点的个数是否相同？说

明你的理由.

解(1)是圆，是直线．

的普通方程为，圆心，半径．

的普通方程为．

因为圆心到直线的距离为，

所以与只有一个公共点．

(2)压缩后的参数方程分别为

：(为参数)； ：(t为参数)．

化为普通方程为：：，：，

联立消元得，

其判别式，

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．

4.(2008宁夏理)(10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，

过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.

(1)证明：OM·OP = OA²；

(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，

且交圆O于B点.过B点的切线

交直线ON于K.证明：∠OKM = 90°.

(1)证明 因为是圆的切线，所以．

又因为．在中，由射影定理知，

(2)证明 因为是圆的切线，．

同(1)，有，又，

所以，即．

又，

所以，故．

3．(2008广东理)(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线，切点为，．

是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径　　　　　 ．

答案　

2．(2008广东理)(不等式选讲选做题)已知，若关于的方程

有实根，则的取值范围是　　　　　　 ．

答案