7．如果正数满足，那么　　　　　　　　　　　　　 (　　 　 )

A．，且等号成立时的取值唯一

B．，且等号成立时的取值唯一

C．，且等号成立时的取值不唯一

D．，且等号成立时的取值不唯一

6．已知a、b、m是正实数，则不等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 　 )

A．当a> b时成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．当a< b时成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

C．是否成立与m有关　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．一定成立

5．设，则x，y的大小是　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 (　　 　 )

A.　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．与m，n的取值有关

4．下列函数中最小值是2的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　　 A．　　　　　　　　　　 　　　　 B．

C．　　　　　　　　 　　　　　　 D．×

3．在①， ② ③，

其中正确的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(　　 )

A．0　　　　　　 　 B．1　　　　　　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　　　　 D．3

2．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的　　　　　　　　　　　　　 (　　 　 )

A．必要条件　　　　　　　　　 B．充分条件　　　　　　　　 C．充要条件　　　　　　　　 D．必要或充分条件

1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　 C． 　　　　 D．

2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．

典型例题十一

例11 已知，求证：．

分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好．

证明：欲证，

只须证．

即要证，

即要证．

即要证，

即要证．

即要证，即．

即要证　　(*)

∵，∴(*)显然成立，

故

说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件．分析法通常采用“欲证--只要证--即证--已知”的格式．

典型例题十二

例12 如果，，，求证：．

分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能(保持两边项数相同)，由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明．

证明：∵

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　 ．

∴．

说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式而得到的．左右两边都是三项，实质上是公式的连续使用．

如果原题限定，，，则不等式可作如下变形：进一步可得到：．

显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程．

典型例题十三

例13 已知，，，求证：在三数中，不可能都大于．

分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则三数都大于，从这个结论出发，进一步去导出矛盾．

证明：假设三数都大于，

即，，．

又∵，，，

∴，，．

∴　　①

又∵，，．

以上三式相加，即得：

　②

显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证．

说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．

典型例题十四

例14 已知、、都是正数，求证：．

分析：用分析法去找一找证题的突破口．要证原不等式，只需证，即只需证．把变为，问题就解决了．或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程．

证法一：要证，

只需证，

即，移项，得．

由、、为正数，得．

∴原不等式成立．

证法二：∵、、为正数，

．

即，故．

，

．

说明：题中给出的，，，，只因为、、都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了．

原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当时取“＝”号．证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键．本题的关键是证明．

典型例题十五

例15 已知，，且．求证：．

分析：记，欲证，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件，可换元，围绕公式来进行．

证明：令，，且，

则

∵，∴，即成立．

说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若，可设；(2)若，可设，，；(3)若，可设，，且．

典型例题十六

例16 已知是不等于1的正数，是正整数，求证．

分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．

证明：∵是不等于1的正数，

∴，

∴．　　①

又．　　②

将式①，②两边分别相乘得

，

∴．

说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．

典型例题十七

例17 已知，，，，且，求证．

分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效．为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法．

证明：要证，

只需证，

只需证．

∵，，，

∴，，，

∴，

∴成立．

∴．

说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果．在题中得到只需证后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法．通过此例可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的．

典型例题十八

例18 求证．

分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从下手考查即可．

证明：∵，

∴．

说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键．

典型例题十九

例19 在中，角、、的对边分别为，，，若，求证．

分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．

证明：∵，∴．

由余弦定理得

∴，

∴

　　　　 =

　　　　

　　　　

　　　　

说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．

2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以．

典型例题九

例9 已知，求证．

分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明．

证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数．

∵，

∴可设，，其中．

∴．

由，故．

而，，故．

说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为或或时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性．

典型例题十

例10 设是正整数，求证．

分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．

证明：由，得．

当时，；

当时，

……

当时，．

∴．

说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明．由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．

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