3．若集合是个元素的集合，则集合有个子集(其中个真子集，个非空真子集)．

典例剖析

[题型1] 集合元素的基本特征

[例1]已知集合，试求集合的所有子集.

[解析]由题意可知是的正约数，所以 可以是；相应的为

，即 .

∴的所有子集为．

[点评] 本题主要考查集合的基础知识，集合中的元素具有确定性、互异性与无序性三大特性，尤其是互异性在解题中应予以足够重视.

[变式与拓展]

2．集合有三种表示方法

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内．

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．

1．集合中的元素必须具有：确定性、互异性与无序性。确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合中元素的排列不是固定的；

2．集合间的关系：

(1)集合的任何一个元素都是集合的元素，则称是的子集(或B包含)，记作．

(2)集合相等：构成两个集合的元素完全一样，若且，则称等于，记作．

(3)若且，则称是的真子集，或者若，但存在元素且，则称是的真子集，记作．

(4)不含任何元素的集合称为空集，记作．规定：空集是任何集合的子集．

(5)简单性质：1)；2)；3)若，，则．

教材透析

1．集合的含义与表示

(1)一般地，把一些指定的对象组成的总体叫做集合，集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合的元素，记作；

(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性三大特性；

(3)常用的集合表示法：列举法、描述法或图示法(图)；

(4)常用数集及其记法：

非负整数集(或自然数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作；

有理数集，记作；实数集，记作．

3．集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

(3)能使用图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

[知识网络]

第一节　 集合的概念与相互关系

自主学习

2．集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义；

1．集合的含义与表示

(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

20．这是挂在岳麓山正门的对联，下联已被拆散且打乱排列顺序，如将拆乱的下联重新组合，则正确的顺序应为(填字母即可)：___________________(3分) 上联：学正朱张，一代文风光大麓 下联：A、浩气　 　B、黄蔡 　C、勋高 　D、震名山 　E、千秋