3．变换的复合──二阶方阵的乘法

　(1)通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。

　(2)通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。

　(3)验证二阶方阵乘法满足结合律。

　(4)通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。

2．二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换

　(1)以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。

　(2)证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明

　A(λ₁α+λ₂β)=λ₁Aα+λ₂Aβ。

　(3)通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形)的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

1．引入二阶矩阵

9．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识。(2)拓展。通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨。(3)学习本专题的感受、体会。

　说明与建议

　本专题的编写与教学，都应力求深入浅出。对内容与要求6、7的两个命题证明过程中，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。教学时，教师应鼓励学生独立思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，并应鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程。

　在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。

矩阵与变换

　矩阵是研究图形(向量)变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。

　本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。

　内容与要求

8．探索定理中(3)的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。

7．试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m，在5(1)中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。)

6．利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切)证明上述定理(1)情况。

5．通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：

　定理　在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：

　(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

　(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

　(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)。

3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。