例1．已知不平行，，，，试判断： 四点共面吗？并证明你的结论．

提示：⑴可以求得，⑵四点共线，从而共面．

例2．空间四边形中，分别是，的重心，设，，，⑴试用向量表示向量和；⑵证明：平面．

答案：⑴，；

例3．如图在正方体中，分别是棱的中点，

⑴求证：；⑵求直线与所成角的余弦值；

⑶求直线与所成角的正弦值．

答案：⑵；⑶．

9．夹角和距离公式：

(1)夹角公式：，，则　　　　　　　　 ；　　　　　　　　　　 ； 　　　　　　　；　　　　　　　 ；

(2)两点间距离公式：，，则　　　　　　　　　　　 ；

(3)向量与平面垂直的意义：若表示的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记为：，此时叫做平面的法向量．

8．空间向量的坐标运算：，，则

　　　　　　　 　；　　　　　　　　 ；　　　　　　　　　 ；

　　　　　　　　　 ；　　　　　　　　 ；　　　　　　　 ；

若，，则．

7．空间直角坐标系(右手直角坐标系)：若，则

6．空间向量基本定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

特别地，若基底为单位正交基底(常用表示)，则可以建立空间直角坐标系。

5．共面向量定理：　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；

据此判断四点共面　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

4．共线向量定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；空间直线的向量参数方程：或(其中过点，在直线上，为空间任意一点，是的方向向量)由此判断三点共线　　　　　　 ．

3．空间向量数量积：(1)主要性质：①(可以用来求角)；

②(可以用来证明线线垂直)；　　 ③(可以用来求线段长)．

(2)运算律：①；　 ②； ③．

2．向量加法与数乘向量的基本性质：

(1)　　 (2)　　 (3)．

1．向量定义：　　　　　　　　　　　　　 ；相等向量：　　　　　　　　　　　　　　 ；

共线(平行)向量：　　　　　　　　　 ；共面向量：　　　　　　　　　　　　　　 ；