1．已知平面a的一条斜线a与平面a成q角，直线bÌa，且a,b异面，则a与b所成的角为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (A)

　　　 A．有最小值q，有最大值　　　　　　　　　　 B．无最小值，有最大值。

　　　 C．有最小值q，无最大值　　　　　　　　　　　　 D．有最小值q，有最大值p-q。

例1．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为C₁D₁中点．

(1)求证：AC₁⊥平面A₁BD．

(2)求BM与平面A₁BD成的角的正切值．

解： (1)连AC，　　　

∵C₁C⊥平面ABCD，　　 ∴C₁C⊥BD．

又AC⊥BD，　　 ∴AC₁⊥BD．

同理AC₁⊥A₁B

∵A₁B∩BD=B．∴AC₁⊥平面A₁BD．

(2)设正方体的棱长为，连AD₁，AD₁交A₁D于E，连结ME，在△D₁AC₁中，ME∥AC₁，

∵AC₁⊥平面A₁BD．∴ME⊥平面A₁BD．

连结BE，则∠MBE为BM与平面A₁BD成的角．在中，，

，∴．

例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，

使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．

　　 (1)求证：面ABP⊥面ABC；

(2)求二面角C-BP-A的余弦值．

证明(1)　 由题设知AP＝CP＝BP．

∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，

即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，

由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．

(2)解法1　 取PB中点E，连结CE、DE、CD．

∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．

△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．

又由(1)知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，

由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．

设，则，，．

例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．

(1)求证：；

(2)若，求平面与平面

所成二面角(锐角)的度数．

证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图，

∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．

取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．

∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，

得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC于FG．

∵BE∥侧面AC，∴BE∥FG，四边形BEGF是 ，BE＝FG．

∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．

解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD．

∵∠BAC＝∠BCA＝60°，

∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝90°，即 DA⊥AC．

∵CC⊥面ACB，

由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．

∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．

说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

9．已知，将沿着平面的法向量平移到的位置，，，求证：．

8．如图，点是矩形外一点，平面，、分别是、的中点，

⑴求证：；

⑵若，能否确定使得是异面直线与的公垂线？若可以确定，试求的值？若不能，说明理由．

答案：⑵ ．

7．已知空间三个点,和，设,，

⑴求与的夹角(用反三角函数表示)；

　⑵试确定实数，使与互相垂直；

　⑶试确定实数，使与互相平行．

答案：⑴；⑵；⑶．

6．如图，分别是四面体ABCD中各棱的中点，

若此四面体的对棱相等，

则与所成的角等于；

_0．

5．已知平面内的，，是平面的斜线段，且，则点到平面的距离为．