3.向量在空间中的应用(在B类教材中).在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.

2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.

1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.

29.解：(1)过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.

OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.

∴D点坐标为(0，－)，即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.

(2)依题意：，

所以.

设向量和的夹角为θ，则

cosθ=

.

评述：本题考查空间向量坐标的概念，空间向量数量积的运算及空间向量的夹角公式.解决好本题的关键是对空间向量坐标的概念理解清楚，计算公式准确，同时还要具备很好的运算能力.

●命题趋向与应试策略

对本章内容的考查主要分以下三类：

28.(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD.∴AB⊥平面PAD.又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD.

(2)解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为(a，a，0)，(0，2a，0).

∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°.

于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E(0，a)

于是，={－a，a，0}

设与的夹角为θ，则由cosθ=

∴θ=arccos，即AE与CD所成角的大小为arccos.

评述：第(2)小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.

27.(1)证明：设=a，=b，=c，则|a|=|b|，∵=b－a，

∴·=(b－a)·c=b·c－a·c=|b|·|c|cos60°－|a|·|c|cos60°=0，

∴C₁C⊥BD.

(2)解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC₁，则∠C₁OC为二面角α-BD-β的平面角.

∵(a+b)，(a+b)－c

∴·(a+b)·［(a+b)－c］

=(a²+2a·b+b²)－a·c－b·c

=(4+2·2·2cos60°+4)－·2·cos60°－·2·cos60°=.

则||=，||=，∴cosC₁OC=

(3)解：设=x，CD=2， 则CC₁=.

∵BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C

∴只须求满足：=0即可.

设=a，=b，=c，

∵=a+b+c，=a－c，

∴=(a+b+c)(a－c)=a²+a·b－b·c－c²=－6，令6－=0，得x=1或x=－(舍去).

评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.

26.解：如图5-22，建立空间直角坐标系O-xyz.

(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)

∴| |=.

(2)依题意得A₁(1，0，2)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、B₁(0，1，2)

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=

∴cos<，>=.

(3)证明：依题意，得C₁(0，0，2)、M(，2)，={－1，1，2}，

={，0}.

∴·=－+0=0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M.

评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.

25.解：如图5-21建立空间直角坐标系

由题意，有A(0，2，0)、C(2，0，0)、E(1，1，0)

设D点的坐标为(0，0，z)(z>0)

则={1，1，0}，={0，－2，z}，

设与所成角为θ.

则·=·cosθ=－2，且AD与BE所成的角的大小为arccos.∴cos²θ=，∴z=4，故|BD|的长度为4.

又V_A-BCD=|AB|×|BC|×|BD|=，因此，四面体ABCD的体积为.

评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.

24.(1)证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.

又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.

(2)解：设与的夹角为θ，则

cosθ=

V=||·||·sinθ·||=

(3)解：|(×)·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P-ABCD体积的3倍.

猜测：|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积).

评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.

23.建立坐标系，如图5-20.

(1)证明：设AE=BF=x，则A′(a，0，a)，F(a－x，a，0)，C′(0，a，a)，E(a，x，0)

∴={－x，a，－a}，={a，x－a，－a}.

∵·=－xa+a(x－a)+a²=0

∴A′F⊥C′E

(2)解：设BF=x，则EB=a－x

三棱锥B′-BEF的体积

V=x(a－x)·a≤()²=a³

当且仅当x=时，等号成立.

因此，三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时BE=BF=，过B作BD⊥EF于D，连

B′D，可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高.∴BD=a.

∴tanB′DB=

故二面角B′-EF-B的大小为arctan2.

评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于·=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量.