1、　 函数的反函数是 　。

20.证明：(1)任取x₁、x₂R,则

2f()－[f(x₁)+f(x₂)]

=2[a()² + b+c] －[a x₁²+bx₁+c] － [a x₂²+bx₂+c]

　　　　 =[(x₁+x₂)²－2(x₁²+x₂²)]= －(x₁－x₂)² ……(2分)

　　　　 a<0　　 2f()－[f(x₁)+f(x₂)] 　0

　　　 由定义得 y = f(x)是R上的凸函数　　 ……(4分)

　(2)解得　　 ……(5分)

　　　　 |f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)||f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|

|f(1)| 1，|f(2)| 2,|f(3)| 3

　　　　 |f(4)| |f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| 16　　　　 ……(6分)

a<0时f(x)= ax²+bx+c开口向下，　

　　　　 当且仅当时取等号，代入上式得

　　　　 f(x)= －4x²+15x－12　　　　　　　　 　……(8分)

　(3) p、q、m、n且p<m<n<q

　　　　　　 不妨设m = p+i, 其中i

　　　　　　 p+q = m+n　　　　　　

m－p = q－n = i　　　

　　　　 由定义知，任意x₁、x₂R,有f(x₁)+f(x₂) 2f()　 ……(9分)　

　　　　　　 取x₁ = p、x₂ = p+2则有f(p)+f(p+2) 　2f(p+1)

　　　　　 变形得f(p) －f(p+1) 　f(p+1) － f(p+2)

　　　　　 同理有 f(p+1) －f(p+2) 　f(p+2) － f(p+3)

　　　　　　　　　 f(p+2) －f(p+3) 　f(p+3) －f(p+4)

　　　　　　　　　 f(p+4) －f(p+5) 　f(p+5) － f(p+6)

　　　　　　　　　　　 　…　　　　　 …

　　　　　　　　 f(p+k-2) － f(p+k－1) 　f(p+k－1) －f(p+k)

　　　 累加求和得：f(p)－f(p+k－1) 　f(p+1) －f(p+k)

　　　　 即　 f(p)+ f(p+k) 　f(p+1)+ f(p+k－1) 　……(11分)

　　 递推i次得

f(p)+ f(p+k) 　f(p+1)+ f(p+k－1) f(p+2)+f(p+k－2) … f(p+i)+f(p+k－i)

　　 　f(p)+ f(p+k) f(p+i)+f(p+k－i)

　　 令p+k = q,得f(p)+f(q) 　f(p+i) + f(q－i)

　　 　m－p = q－n = i

　f(p)+f(q) 　f(m)+f(n)　　　　　　 ……(14分)

20. (本小题满分14分)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的凸函数 ；

(1)证明：定义在R上的二次函数是凸函数；

(2)对于(1)中的二次函数，

若,求取得最大值时函数的解析式；

(3)定义在R上的任意凸函数,

若，证明：.

19.解：(Ⅰ)由于y＝　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵点An(,)在曲线y＝f(x)上(n∈N⁺)

∴= f()= 　,　 并且　　　 ……(2分)

　 ，　

∴数列{}为等差数列，并且首项为=1，公差为4　　 ……(4分)

∴=1+4(n-1)　　 ，　　　 ∴

∵　 　，

　∴　　　　　　　　　 ……(5分)

(II)

　　 ……(8分)

　　 ……(10分)

(Ⅲ)由　 ，　

得：

　　　　 ……(12分)

，如果，此时

　　　　　　 ……(13分)

，

此时，数列{}是等差数列.　　　　 ……(14分)

18．解：(Ⅰ)当,化为……(3分)

故，满足(Ⅰ)条件的集合为.　 ……(5分)

(Ⅱ)在区间上任取，则……(7分)　　　　　　　　 ……(8分)

　因故，又在上,　 ……(10分)

∴只有当时，即时.

才总有,　　 ……(12分)

∴当时,在上是单调减函数.(14分)

说明：本题若令求出，没有考虑的充分性扣2分

18. (本小题满分14分)设函数

　　 (Ⅰ)当求函数满足时的的集合；

　　 (Ⅱ)求a的取值范围，使f(x)在区间(0，+∞)上是单调减函数.

17． 解：(Ⅰ)] ………………2分

　……(4分)

= ……………6分

　 ………………8分

　 (Ⅱ)由y =

……………………12分

　 …………14分

17. (本小题满分14分)已知函数：.

　 (Ⅰ)求函数的最大值和最小值；

　 (Ⅱ)当θ=时，求函数 满足的x的集合.

16.解：　　 依题意得：

　…………2分

　 (n=1,2,…)…………5分

…………8分

故数列是等比数列. …………10分

　 　…………12分

16．(本小题满分12分) 已知数列满足： ，.求证：数列是等比数列，并求其通项公式.