9、若干个数排成一行，开头两个数是1与3，从第二个数开始，每个数的4倍等于它左右两边两数之和。(1)求这个数列中第80个数及第123个数被3除的余数及被5除的余数。(2)1785与1988这两个数是否在这列数中？

8、一个学生扳手指头数数，按照下述规定进行：从中指开始数1，依次按食指、大拇指、食指、中指、无名指、小指、再折回无名指、中指，以下与此相同。问：他数到1991时扳的是哪个手指？

7、求1×3×5×7×9×11×13×…×1991的最后两位数字。

6、设给出菲波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…，有关它的详细定义见例7。(1)设aⁿ是数列中第n个数，对下面给出n的哪些值，数列中第n个数aⁿ是8的倍数：n=61, 785, 1062。(2)求数列中前1991个数的和被4，5除所得余数各是多少？

5、(1)在前10000个自然数中，有多少个自然数n使2ⁿ-1是7的倍数？(2)在前10000个自然数中，有多少个自然数n使2ⁿ+1是7的倍数？

4、设n是任何一个给定的自然数，求n⁵-n的个位数。

3、求5¹⁹⁹¹+4¹⁹⁹¹+3¹⁹⁹¹被11除所得的余数。

2、求19¹⁹⁹¹+91¹⁹⁹¹的末两位数。

习题四

1、已知如下的36个自然数1，12，123，1234，…，123456789；11，112，1123，11234，…，1123456789；21，212，2123，21234，…，2123456789；31，312，3123，31234，…，3123456789。(1)把这36个数相加，求所得和的末两位数；(2)把这36个数相乘，求所得乘积的末5位数。

7．使用三角板和圆规画图：

8，用三根火柴棍可以摆一个三角行，如图：

(1)　　 再加两个火柴棍，摆出两个三角形

(2)　　 再加两个火柴棍，摆出三个三角形

(3)　　 再加两个火柴棍，摆出五个三角形

学习完二维空间的点，线和面，我们开始学习三维的立体几何。

我们称之为：体。

长方体，立方体，圆柱，圆锥，棱柱，棱锥，球体。

关于立体几何，有很多的公式，要求有丰富的空间想象能力，可以把它和我们的现实生活联系起来。对于下面研究的图例，它们的面积和体积全部都有固定的公式，我们只要求认识这些图形，不要求记住公式。

　　 长方体　 就是每个面由长方形构成，总共有6个面，就有6个长方形。

　　　　 正方体　　 由6个正方形构成，每条边长都一样。有12条棱。

　　　　 圆柱体　　 两个底面是完全相同的圆。　　　　　 三棱柱　 上下底面是三角形

柱体与锥体：两端相同的，成对称的立方体；而锥体是一端是点，另一端是图形(圆或者多边形)。

　　　　　　　　 圆锥　　　　　　　　　　 三棱锥(四面体)　　　 四棱锥

球，可以理解为是圆的立体化。最中心的地方叫做球心，到球面的距离叫做球的半径。

立体图形，要有立体的想象能力，下面，我们把立体的图形解剖开来，看看它们的平面效果。

长方体展开图示：

圆锥展开图形　　　　　　　　　　　　　　　　 四棱锥展开图

你能看出来它们是什么吗？

你知道他展开后是什么样子的吗？

观察下面的图形中阴影部分占整体的几分之几？

图形的等积变化和等积划分问题：

在奥数中通常会碰到一些比较怪异的图形，我们最常用的方法就是把它进行等积变化，变成可以计算的规则的图形。

等积划分就是把一个不规则的图形如何分为面积相等的两份，观察是最重要的途径。

1，　 变梯形为三角形：

可以自己动手做一做！ 2，经典问题：五个小正方形，变成一个大正方形：

3，如何把正方形再拼成一个等腰直角三角形？

把图形分成面积相等的几分，关键在找到对称点，找到使两个或者多个单独的部分有相同的形状和结构。

1，分下面图形成面积相等的两部分：

2，分下面的图两个相等的部分：

如图，如何把院子里的12棵树分成大小相等，形状相同的4个小区，每个小区有3棵树？

数字与运算系列：(一)

数字的运算求和，要善于发现他们之间的规律，找到捷径和简单的方法

1,计算： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

2，　 计算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

3，　 计算：(2+4+6+8……+100)-(1+3+5+7+…. +99)

4，时钟1点钟敲了1下，2点钟敲了2下，3点钟敲了3下，………………..照这样做下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了几下？如果每半小时，时钟都敲一下，那这12小时内共敲了多少下？

5，(1)把16只小鸡分别装进5个笼子里，每个笼子都要有鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？

(2)按同样的要求，把15只小鸡装进5个笼子能半的到吗？14只呢？ (分析，实验，可以从简单的问题入手，用已知的数字带入看看)

6，把100块糖分给10个小朋友，要求每人都分到单数块糖，而且每人分到糖快数都不一样，如何分？要是分99块糖给10个人呢？(常见的数字和要记得)

7，少先队员去科技馆，从排头数起，刘平是第20个；从排尾数起，张英是第23个。已知刘平的前一个是张英。问这队少先队员共多少人？(41)

8，　 一班同学做花，做红花的有38人，做黄花的有39人，没有做花的有3人。如果全班55

人，那么既做红花又做黄花的有多少人？

9，小明在马路的一边种树，每隔1米种一棵树，共种了11棵，问这段马路有多长？

10，　　　 钟楼的钟打点报时，5点钟搭下要4秒钟，问12点时打12下要几秒钟？(注意联系

实际，分析过程，属于植树问题)

11，　　　 小明与爸爸一同上楼。小明跑的比爸爸快，爸爸上的慢，小明上2层，爸爸上1层。

问小明上到5楼时，爸爸上到几楼？(竞赛题)

12，分别用有数字1，8，3的三张卡片，能排出多少个不同的2位数来？(自己列举例子)

13手问题：有一群人，若规定每两个人都握手一次而且只握一次手，求他们共我多少次手？假使这群人是：1，两个人，2，三个人，3 ，四个人？

(图形解决的特殊方法)

14铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有5个站，每两站间的距离都不相等，问这段铁路上的火车票价共有多少种？(画图法)

15(数字游戏)：如下图所示，把1，2，3，4，5，6，7，8，9分为三组，填到三个小三角形的各个角上的圆圈里，使每个小三角形的三个角的圆圈里的数之和都是15。同时使大三角形三个角的圆圈里的数之和也是15。

对于前面的题，多数是已经列好算式要求计算出结果，但在这里，我们却是知道结果和要达到的目标，请你回答如何能得到这种结果。这也是数学竞赛时经常见到的题型。

要求能进行大胆的尝试，培养思维的灵活性和敏捷性，仔细观察，发现题中给出的一些关于数的规律。

1，某公园有三棵树，树的年龄分别是由1，2，3，4，5，6这6个数字中的不同的两个数字组成，而且其中一棵的树的年龄正好是其他两棵树年龄和的一半，问这三棵树的年龄个是多少？

2，见右图。有一天，钟从墙上掉下来，钟面摔成了三块。三块的形状虽然不同，但三块的数相加之和却是相等的。请问你知道他们碎成什么样子吗？每块钟面上的数的和是多少？

3，比赛题：一只老猫捉了12只老鼠，其中有一只是小白鼠。老猫自言自语说：“我要分三批吃它们。不过吃以前叫它们站好队，我从头一个开始吃，隔一个吃掉一个，也就是：我第一次吃掉站在1，3，5，7，9，11号位置的老鼠；剩下的叫它们不许动，第二次还是从头一个吃，隔一个吃一个；第三次也是照这样的方法吃。但把最后一个放了。”这话被聪明的小白鼠听见了，于是它站在了某个位置上，没有被吃掉。请问你知道它站在几号位置上了吗？ (画图找规律)

在数学中，经常研究相等关系，可有时候还研究不等关系。除了等于=之外，还有不等于<>

,>,<等关系。

一，如　 1<2, 1<=2, 2=2,2>=2,3>3, 3<>2.你知道它们的意思吗？用不等关系，可以排除许多的无关信息，在高中阶段，有专门研究不等关系的内容，如列不等式解方程，不等函数等。

在我们目前接触的整数中，如1，2，3，4，100，200等，可以把数分为奇数和偶数。而不

二，对小数作这样的分类。偶数就是可以被2整除的数，所谓的整除就是用它来除以2时，没有余数，象2，4，6，8，10，…..，100，102， ……………；而奇数就是那些不能整除2的数，简单的说就是除以2后，有余数1，如：1，3，5，7，9，………………….. 三，数学中还存在这样的一类型的数，叫布尔型。就有两个结果：是或者否，T和F。(也可以理解为对或者错。)

1，　 老师发了数学考卷，一班(1)组的六个同学的分数是这样的：

小王和小钱的分数一样的多；

小赵比小李的分数多，可比小王的分数少；

小乐没有小王，小赵的分数多，但比小李的分数多；

小钱的分数比小顾的又要少一些。

请问他们谁的分数最多，谁的最少？

2，　 红球比白球大；蓝球比黄球大，比黑球小；黄球比白球大；黑球比红球小。请按照顺序排列它们？

3前十个自然数的和是奇数还是偶数？

4把10个球分为三组，要每组都是奇数，怎样分？

(您知道0是什么数吗？)

5有的电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双号相邻。

(1)　　　 一个人拿了三张单号的电影票，这三个号码相加之和是9，问这三个座位分别是几号？

(2)　　　 若三张号码相加之和等于15呢，三个号码是多少？

(3)　　　 若三张号码相加之和等于21呢，三个号码是多少？

6小华说：“我爸爸是厂长，但我不是他这个厂长的儿子”。你认为小华的说法一定错了吗？为什么？

7在等腰直角三角形中，必定有两条边相等，而且必定有一个角是直角，对吗？任意两条边的和都比第三边大，对吗？(是非题)