3.空间四边形ABCD中，若，则与所成角为

A、　　 B、　　 C、　　 D、

2.已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.

其中正确的个数是(　　 )　 A.3　　 B.2　　　 C.1　　 D.0

1.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是(　　　 )

A. 内所有的直线都与a异面；　　　 B. 内不存在与a平行的直线；

C. 内所有的直线都与a相交；　　　 D.直线a与平面有公共点.

5．　　　 6．　　　 7．　　　 8．　　　 9．　　 10．①，②

1．①③④⑤　　　 2．①③　　　　 3．　　　　 4．　　

15．D　　 16．D　　 17．A　　 18．B

8．C　　　 9．C　　 10．B　　 11．C　　 12．D　　 13．C　　 14．C

1．D　　　 2．A　　 3．D　　 4．B　　 5．C　　 6．B　　　 7．B

24．[06山东·理] 如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设

(Ⅰ)求证直线是异面直线与的公垂线；

(Ⅱ)求点A到平面VBC的距离；

(Ⅲ)求二面角的大小。

[解]解法1：(Ⅰ)证明： ∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，　　　 　　　　　，

又，.　　　 为与的公垂线.

(Ⅱ)解法1：过A作于D，

∵△为正三角形，　　 ∴D为的中点.

∵BC⊥平面　　　 ∴，

又，　　 ∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.

由(Ⅰ)知，设A到平面的距离为x，　　 ，

即，解得.

即A到平面的距离为.

所以，到平面的距离为.

(III) 过点作于，连，由三重线定理知

是二面角的平面角。

在中，　　 　　

　　　　 。

。

所以，二面角的大小为arctan。

解法二：取中点连,易知底面，过作直线交于。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。

(I)，，

，

。　　

　　 又

由已知。　　　 ，

而。

又显然相交，　　　 是的公垂线。

(II)设平面的一个法向量，　 又

　 由

取 得

点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。

，设所求距离为。

　　　 则

　　　　　　　 所以，A到平面VBC的距离为.

(III)设平面的一个法向量

由　 取，

二面角为锐角，

所以，二面角的大小为

选择题与填空题答案

23．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

(I)证明：ED为异面直线与的公垂线；

(II)设 求二面角的大小。

[解] 解法一：

(Ⅰ)设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C₁C，

又C₁C∥＝B₁B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，　 BO面ABC，　 故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，　 ED⊥AC₁，　　 ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线．

(Ⅱ)连接A₁E，由AA₁＝AC＝AB　　　　 可知，A₁ACC₁为正方形，

∴A₁E⊥AC₁，　　 又由ED⊥平面ACC₁A₁和ED平面ADC₁知

平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁，∴A₁E⊥平面ADC₁．作EF⊥AD，垂足为F，连接A₁F，

则A₁F⊥AD，∠A₁FE为二面角A₁－AD－C₁的平面角．

不妨设AA₁＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，

tan∠A₁FE＝，∴∠A₁FE＝60°．

所以二面角A₁－AD－C₁为60°．

解法二：

(Ⅰ)如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．

设A(a,0,0)，B(0,b,0)，B₁(0,b,2c)．

则C(－a,0,0)，C₁(－a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)．

＝(0，b，0)，＝(0，0，2c)．　　 ·＝0，　

　∴ED⊥BB₁．

又＝(－2a,0,2c)，　　 ·＝0，　　 ∴ED⊥AC₁，

所以ED是异面直线BB₁与AC₁的公垂线．

(Ⅱ)不妨设A(1,0,0)，则B(0,1,0)，C(－1,0,0)，A₁(1,0,2)，

＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,0)，＝(0,0,2)，

·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA₁，又AB∩AA₁＝A，

∴BC⊥平面A₁AD．

又E(0,0,1)，D(0,1,1)，C(－1,0,1)，＝(－1,0,－1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，

·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，　 ∴ EC⊥面C₁AD．

cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．

所以二面角A₁－AD－C₁为60°．