12． 如图(上右图)，在正四棱柱中，

，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：

(Ⅰ)异面直线与所成角的大小；

(Ⅱ)二面角的正切值；

[解] 解法一：(Ⅰ)由为异面直线所成的角。连接.因为AE和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得,再由∽得

在。

(Ⅱ)作

为二面角即二面角的平面角

在，

从而

解法二：(Ⅰ)由为异面直线

所成的角。因为和分别是平行平面与平面的交线，

所以，由此可得

从而，于是

在

(Ⅱ)在知为钝角，

作

为二面角二面角的平面角，

在,

从而。

解法三：(Ⅰ)以为原点，所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系。

于是，，，，，

因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，设，则

由，于是

故,设异面直线AD与所成的角的大小为，则，从而。

(Ⅱ)作为二面角二面角

的平面角,设则，

由得，由此得

又由共线得，从而，于是

联立(i)和(ii)得，，故

由，

得：。

11．[06浙江·理]如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，

， 底面，且，分别为、的中点。

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求与平面所成的角。

[解] 本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。

方法一：

(I)因为是的中点，，所以.

因为平面，所以，

从而平面.因为平面，

所以.

(II)取的中点，连结、，

则，

所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.

因为平面，

所以是与平面所成的角.

在中，。

故与平面所成的角是。

方法二：

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则

.

(I)　 因为，所以

(II)　 因为，所以，

又因为，所以平面

因此的余角即是与平面所成的角.

因为，

所以与平面所成的角为。

10． 如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．

(1)证明//平面；

(2)设，证明平面．

[解] 本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

(Ⅰ)证明：取CD中点M，连结OM.

在矩形ABCD中。　　 ，又，

则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.　　

又平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE

(Ⅱ)证明：连结FM，由(Ⅰ)和已知条件，在等边△CDE中，

且.

因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM

而FM∩CD=M，　　　　　 ∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.

而，　　　 所以EO⊥平面CDF.

9． 如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)求三棱锥P－DEN的体积。

[解] 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。

解法一：(Ⅰ)证明：取的中点，连结

∵分别为的中点

∵

∴面，面

∴面面　　　　　 ∴面

(Ⅱ)设为的中点

∵为的中点　　　　　 ∴　　　　 ∴面

作，交于，连结，则由三垂线定理得

从而为二面角的平面角。

在中，，从而

在中，

故：二面角的大小为。

(Ⅲ)

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴。

方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

∵分别是的中点

∴

(Ⅰ)，取，显然面

，∴　　　 又面　　　 ∴面

(Ⅱ)过作，交于，取的中点，则

设，则

又

由，及在直线上，可得:

解得

∴　　 ∴　　 即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为。

(Ⅲ)设为平面的法向量，则

又

∴　　　 即　　　　　　 ∴可取

∴点到平面的距离为，

∵，，

∴，

∴。

8． 在直三棱柱中，.

(1)求异面直线与所成的角的大小；

(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积。

[解] (1) ∵BC∥B₁C₁，　　　 ∴∠ACB为异面直线B₁C₁与AC所成角(或它的补角)

∵∠ABC=90°,AB=BC=1，　　　 ∴∠ACB=45°,

∴异面直线B₁C₁与AC所成角为45°.

(2)∵AA₁⊥平面ABC,

∠ACA₁是A₁C与平面ABC所成的角，∠ACA₁=45°.

∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=　　　　　　 ∴AA₁=。

∴三棱锥A₁-ABC的体积V=S_△ABC×AA₁=。

7． 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．

[解](1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD，得

∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°.

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO,

于是，PO=BOtg60°=,

而底面菱形的面积为2.

∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.

(2)解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.

在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－,0)，B(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)。

E是PB的中点，则E(,0,)。　　 于是=(,0,),=(0,,).

设与的夹角为θ，有cosθ=，　　 θ=arccos。

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.

解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.

由E是PB的中点，得EF∥PA,

∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)。

在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,

于是,在等腰Rt△POA中,PA=,则EF=.

在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=.　　　　 cos∠FED==

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.

6． 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A₁, 点B在l的射影为B₁,已知AB=2,AA₁=1, BB₁=, 求:

(I) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小；

(II)二面角A₁－AB－B₁的大小。

[解] 解法一：(Ⅰ)如图, 连接A₁B,AB₁,

∵α⊥β, α∩β=l ,AA₁⊥l, BB₁⊥l,

∴AA₁⊥β, BB₁⊥α. 则∠BAB₁,∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角.

Rt△BB₁A中, BB₁= , AB=2,

∴sin∠BAB₁ = = .　　　　　 ∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中, AA₁=1,AB=2, sin∠ABA₁= = ,　　　　　 ∴∠ABA₁= 30°.

故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.

(Ⅱ)∵BB₁⊥α,　　　　　 ∴平面ABB₁⊥α。

在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，则A₁E⊥平面AB₁B。过E作EF⊥AB交AB于F，连接A₁F，则由三垂线定理得A₁F⊥AB，

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB₁中,∠BAB₁=45°，　　　　 ∴AB₁=B₁B=.

∴Rt△AA₁B中，

A₁B== = 。

由AA₁·A₁B=A₁F·AB得

　A₁F== = ,

∴在Rt△A₁EF中，sin∠A₁FE = = ，

∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arcsin.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A₁(0,0,0),A(0,0,1),B₁(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1, 1), ∴点F的坐标为(t, t,1t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1t) ·(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0， 解得t= ，

∴点F的坐标为(,, ),　　　 ∴=(,, ).

设E为AB₁的中点,则点E的坐标为(0,, )。　　 ∴=(,,).

又·=(,－,)·(,1, 1)= =0,　　　 ∴⊥,

∴∠A₁FE为所求二面角的平面角.

又cos∠A₁FE= = = = = ,

∴二面角A₁－AB－B₁的大小为arccos.

5． 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，

与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.

(Ⅰ)求异面直接与所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)设点M在棱上，且为何值时，平面。

[解] 解法一：平面， 　　　

又，

由平面几何知识得：

(Ⅰ)过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，

四边形是等腰梯形，

又　　 四边形是平行四边形。　　

是的中点，且

又，　　 为直角三角形，

在中，由余弦定理得：

故异面直线PD与所成的角的余弦值为。

(Ⅱ)连结，由(Ⅰ)及三垂线定理知，为二面角的平面角

，　　　　

二面角的大小为

(Ⅲ)连结，

平面平面，　　　

又在中，，，

　　　 故时，平面

解法二： 平面　　　　

又，，

由平面几何知识得：

以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，

(Ⅰ)，　　 ，

。　　 。

故直线与所成的角的余弦值为。

(Ⅱ)设平面的一个法向量为，

由于，，　 由　 得　

取，又已知平面ABCD的一个法向量，

。

又二面角为锐角，　　　　 所求二面角的大小为

(Ⅲ)设，由于三点共线，，

平面　　　　　　

由(1)(2)知：，。　　 　

故时，平面。

4．如图，是正四棱柱。

(I)求证：BD⊥平面；

(II)若二面角的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小。

[解]解法一：(Ⅰ)∵ 是正四棱柱，

∴ CC₁⊥平面ABCD，　 ∴ BD⊥CC₁，

∵ ABCD是正方形，　 ∴ BD⊥AC

又 ∵AC，CC₁平面，且AC∩CC₁=C，

∴ BD⊥平面

(II)设BD与AC相交于O，连接C₁O。

∵ CC₁⊥平面ABCD，BD⊥AC，

∴ BD⊥C₁O，

∴ ∠C₁OC是二面角的平面角，

∴ ∠C₁OC=60°。

连接A₁B　　　 ∵ A₁C₁∥AC，

∴ ∠A₁C₁B是异面直线BC₁与AC所成角。

设BC=a，则CO=，CC₁=CO，A₁B=BC₁= ，

。

在△A₁B₁C₁中，由余弦定理得 ，

∴ A₁C₁ B=， ∴ 异面直线BC₁与 AC所成的角的大小为。

解法二：

(I)建立空间直角坐标系D-xyz，如图。

设AD=a，DD₁=b，则有D(0,0,0)，A(a,0,0,)、B(a,a,0,)、C(0,a,0,)、C₁(0,a,b,)

∴，

，

∴ ，　　　

∴ ，　 。

　 又∵AC，CC₁平面，且AC∩CC₁=C，

∴ BD⊥平面

(Ⅱ)

设BD与AC相交于O，连接C₁O，则点O坐标为，

∵ ，　　　 ∴ BD⊥C₁O ，又BD⊥CO

∴ ∠C₁OC是二面角的平面角，　　 ∴ ∠C₁OC=60°。

∴ ，　　　　　　 ∴ 。

∵ ，，　　　　 ∴

∴ 异面直线BC₁与 AC所成的角的大小为。

3．　 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小.

[解] 解法一：

(Ⅰ)PA平面ABCD，

　AB是PB在平面ABCD上的射影，

又ABAC，AC平面ABCD，

ACPB.

(Ⅱ)连接BD，与AC相交与O，连接EO，

ABCD是平行四边形　　 O是BD的中点

又E是PD的中点，　　　 　EOPB.

又PB平面AEC，EO平面AEC，

PB平面AEC，

(Ⅲ)如图，取AD的中点F，连EF，FO，则

EF是△PAD的中位线，　 \EFPA又平面，　 \EF^平面

同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.　　　　 又FO＝AB＝PA＝EF。

\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，

故所求二面角的大小为135°.

解法二：

(Ⅰ)建立空间直角坐标系A-xyz，如图。

设AC=a，PA=b。则有A(0,0,0)、B(0,b,0)、C(a,0,0)、P(0,0,b)，

∴　 从而，

　　 ∴。

(Ⅱ)连结BD，与AC相交于O，连结EO。

由已知得，，，

∴，

又，　　 ∴ ，

∴ ，

又PB平面AEC，EO平面AEC。

∴ PB平面AEC。

(Ⅲ)取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为，

又

是二面角的平面角。

二面角的大小为