22．[06全国Ⅰ·理] 如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，AM=MB=MN。

(Ⅰ)证明ACNB

(Ⅱ)若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

[解] 解法一：

(Ⅰ)

　　 又AN为AC在平面ABN内的射影

(Ⅱ)

又已知，因此为正三角形.

，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，为NB与平面ABC所成的角.

在中，

解法二：

如图，建立空间直角坐标系.　　 令,

则有A(-1，0，0)，B(1，0，0)，N(0，1，0)。

(Ⅰ)是、的公垂线，，

故可设C(0，1，m)。　　

于是

，　　 。

(Ⅱ)

又已知 　为正三角形，。

在中，，可得，故　 C(0，1，)

连结MC，做于H，设

，可得，连结BH，则，

　　 ,　　 又

又　　　 。

21．[06辽宁·理] 已知正方形。、分别是、的中点,将沿折起，如图所示。记二面角的大小为。

(I) 证明平面；

(II) 若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论,并求角的余弦值。

[解]　

(I) 证明：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EB//FD，且EB=FD，

四边形EBFD为平行四边形。　　　　 BF//ED

　　　 平面.

(II)解法1：

如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，

过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G，连结GC,GD.

ACD为正三角形，　　 AC=AD　　　 CG=GD

G在CD的垂直平分线上，

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，

过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以为二面角

A-DE-C的平面角。即。

设原正方体的边长为2a，连结AF

在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，

即AEF为直角三角形，。　　　

在RtADE中,　　 　　　　

。

解法2：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF，在平面AEF内过点作，垂足为。

ACD为正三角形，F为CD的中点，　　

又因,　 所以

又且

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H，连结AH,则，所以为二面角A-DE-C的平面角。即

设原正方体的边长为2a，连结AF

在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，

即AEF为直角三角形,　　　　

在RtADE中,　　　 　　　

。

解法3：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF，在平面AEF内过点作，垂足为。

ACD为正三角形，F为CD的中点,　　　　

又因，所以

又 　　　　　

为A在平面BCDE内的射影G。

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上。

过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以为二面角A-DE-C的平面角.即。

设原正方体的边长为2a，连结AF

在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，

即AEF为直角三角形,　　　

在RtADE中,　 　　　　,

。

20．[06江西·文] 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。

(1)求O点到面ABC的距离；

(2)求异面直线BE与AC所成的角；

(3)求二面角的大小。

[解]方法一：(1)取BC的中点D，连AD、OD。

　　 ，则

　　 ∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，

则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。

，。

　　　 ∴面OBC，则。

，在直角三角形OAD中，有

　　　 (另解：由知：)

(2)取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。

　 求得：，

，　 ∴。

(3)连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF。

∵OC⊥面OAB，　 ∴OC⊥AB。　　 又∵OH⊥面ABC，

∴CF⊥AB　　 ∴EF⊥AB，

则∠EFC就是所求二面角的平面角。作EG⊥CF于G，则。

在直角三角形OEF中，

(或表示为)

方法二：(1)以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0)

设平面ABC的法向量为，则由知：，

则由知：，

取，则点O到面ABC的距离为。

(2)。　

所以异面直线BE与AC所成的角。

(3)设平面EAB的法向量为，则由知；

由知：取。

由(1)知平面ABC的法向量为。

结合图形可知，二面角的大小为：。

19．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

(1)求证：AD^BC；

(2)求二面角B－AC－D的大小；

(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD。

成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

[解] 解法一：

(1) 方法一：

作AH^面BCD于H，连DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

\AB＝＝BC＝AC　 \BD^DC

又BD＝CD，则BHCD是正方形，

则DH^ BC

\AD^BC

方法二：取BC的中点O，连AO、DO

则有AO^BC，DO^BC，　　　 \BC^面AOD

\BC^AD

(2)作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝\M是AC的中点，且MN¤¤CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ ÐBMN＝arccos。

(3)设E是所求的点，作EF^CH于F，连FD。则EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，则ÐEDF＝30°。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，

FD＝，　　 \tanÐEDF＝＝＝　 解得：x＝，

则CE＝x＝1

故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角。

解法二：此题也可用空间向量求解，解答略。

18． 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P(如图2)

(Ⅰ)求证：A₁E⊥平面BEP；

(Ⅱ)求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

(Ⅲ)求二面角B－A₁P－F的大小(用反三角函数表示)。

[解][考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力]

不妨设正三角形的边长为3，则

(I)在图1中，取BE的中点D，连结DF，

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60^o，∴△ADF为正三角形。

又AE=DE=1，∴EF⊥AD。

在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB为二面角A₁－EF－B的一个平面角，

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A₁E⊥BE。

又BEEF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP。

(II)在图2中，∵A₁E不垂直于A₁B，∴A₁E是面A₁BP的斜线，又A₁E⊥面BEP，

∴A₁E⊥BP，∴BP垂直于A₁E在面A₁BP内的射影(三垂线定理的逆定理)

设A₁E在面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于Q，

则∠EA₁Q就是A₁E与面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q。

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60^o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。

又A₁E⊥面BEP，∴A₁B=A₁P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A₁E=1，

∴在Rt△A₁EQ中，，即直线A₁E与面A₁BP所成角为60^o。

(III)在图3中，过F作FM⊥A₁P于M，连结QM、QF。

∵CF=CP=1，∠C=60^o，∴△FCP为正三角形，故PF=1，

又PQ=BP=1，　 ∴PF=PQ…… ①

∵A₁E⊥面BEP，EQ=EF=，∴A₁F=A₁Q，

∴△A₁FP△A₁QP，故∠A₁PF=∠A₁PQ…… ②

由①②及MP为公共边知△FMP△QMP，

故∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，

∴∠FMQ为二面角B－A₁P－F的一个平面角。

在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，　　　　 ∴A₁P=，

∵MQ⊥A₁P，　　 ∴MQ=，　　 ∴MF=。

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60^o，由余弦定理得QF=，

在△FMQ中，，

∴二面角B－A₁P－F的的大小为。

17． 如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。

(I)证明: ；

(II)求异面直线所成的角；

(III)求点到平面的距离。

[解] 解法一：(Ⅰ)连接AC、BD，设ACBD＝O

因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，

所以PO平面ABCD，QO平面ABCD

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD

(II)由题设知，ABCD是正方形，所以．由(I)，平面，故可分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系(如图)，由题设条件，相关各点的坐标分别是，A(,0,0)，，

于是

从而异面直线AQ与PB所成的角是。

(Ⅲ)由(Ⅱ)，点D的坐标是

，

，

设＝(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，由

所以点P到平面的距离。

解法二：(Ⅰ)取AD的中点M，连接PM、QM。

因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM。

从而AD平面PQM。

　　 又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。

　　 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。

(Ⅱ)连接AC、BD，设ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q，C四点共面。

取OC的中点N，连接PN。

因为，所以

， (或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角。

连接BN。　　 因为．

所以。

从而异面直线AQ与PB所成的角是。

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。

过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。

连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。

又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。

即点P到平面QAD的距离是。

16． 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。

(Ⅰ)求二面角的平面角的余弦值；

(Ⅱ)求点到平面的距离。

[解] 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：(Ⅰ)因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AM,所以AM面，从而AM, AMNM，所以为二面角的平面角。又=，MN=,

连，得＝，

在中，由余弦定理得

。

故所求二面角的平面角的余弦值为。

(Ⅱ)过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，＝。故点到平面AMN的距离为1。

解法2：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则(0，0，1)，M(0，，0),

C(0,1,0)，N (0,1,) ，A ()，所以，

，，。

因为

所以，同法可得。

故为二面角的平面角。

∴ ＝

故所求二面角-AM-N的平面角的余弦值为。

(Ⅱ)设为平面AMN的一个法向量，则由得

　　　 故可取。

设与n的夹角为，则。

所以到平面AMN的距离为。

15． 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m，

(I)试确定m，使得直线AP与平面BD D₁B₁所成角的正切值为；

(Ⅱ)在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

[解] 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：(I)

故。所以。

又.

故

在△，即.

故当时，直线。

(Ⅱ)依题意，要在上找一点，使得.

可推测的中点即为所求的点。

因为，所以

又,故。

从而

解法二：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m)，C(0,1,0),

D(0,0,0),B₁(1,1,1),D₁(0,0,1).

所以

又由的一个法向量.

设与所成的角为，

则

依题意有：，解得.

故当时，直线。

(Ⅱ)若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，

则。

依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于

即为的中点时，满足题设的要求。

14． 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

(I)求证：平面BCD；　　　

(II)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(III)求点E到平面ACD的距离。

[解] 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

方法一：(I)证明：连结OC

在中，由已知可得

而　　

即

　　　 　　平面

(II) 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，

是直角斜边AC上的中线，　　

异面直线AB与CD所成角的大小为

(III) 设点E到平面ACD的距离为

，　　 ∴

在中，　

而　　

点E到平面ACD的距离为

方法二：(I)同方法一。

(II)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的大小为

(III)解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量。

又　　　 点E到平面ACD的距离

13． 如图，在四棱锥中，底面ABCD，为直角，,E、F分别为、中点。

(I)试证：平面；

(II)高，且二面角的平面角大小，求的取值范围。

[解] (I)证：由已知且为直角。故ABFD是矩形。从而。又底面ABCD，，故由三垂线定理知。在Rt中，E、F分别为PC、CD的中点，故EF//PD,从而，由此得面BEF。

(II)连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在中易知EG//PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而为二面角E-BD-C的平面角。

设。

以下计算GH，考虑底面的平面图(如答(19)图2)。

连结GD，因。

故GH＝。在。

，　　　 而

。因此，。

由知是锐角。故要使，必须，

解之得，上式中的取值范围为。